Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức thể tích hình nón

Thể tích hình nón

1. Định nghĩa

- Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

2. Công thức tính thể tích khối nón

Cho khối nón tròn xoay có diện tích đáy là S; chiều cao là h.

Khi đó : $V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}\pi .r^2.h$

3. Ví dụ áp dụng

VD1. Cho tam giác OIM vuông tại I, góc $\widehat{IOM}={30}^{\circ }$; $IM=a$

Quay tam giác OIM quanh cạnh OI được hình nón tròn xoay. Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo thành.

Lời giải:

Ta có :

$OI=IM.\cot {30}^{\circ }=a\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^2.h \\ =\frac{1}{3}\pi a^2.a\sqrt{3} \\ =\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

VD2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.

Lời giải:

Chiều cao khối nón là a.

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông bằng $\frac{a}{2}$

Suy ra :

$$\begin{gathered} \Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^2.h \\ =\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^{2}a \\ =\frac{\pi a^3}{12} \end{gathered}$$

VD3. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=8$ và $BC=10$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh BC.

Lời giải:

Quay tam giác ABC quanh BC ta được 2 khối nón tròn xoay

Gọi $V_1$ là khối nón đỉnh C đường cao CH, bán kính AH

$V_2$ là khối nói đỉnh B đường cao BH, bán kính AH

Theo định lí Pytago ta có: $AC=6$

Ta có:

$$\begin{gathered} AB.AC=AH.BC \\ \Rightarrow AH=4,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A{B}^2=BH.BC \\ \Rightarrow BH=6,4 \\ \Rightarrow CH=3,6 \end{gathered}$$

Khi đó:

$V_1=\frac{1}{3}\pi .4,8^2.3,6=27,648\pi$

$V_2=\frac{1}{3}\pi .4,8^2.6,4=49,152\pi$

Do vậy thể tích hình tròn xoay là:

$V=V_1+V_2=76,8\pi$