Số thực là gì? Tập hợp các số thực là gì? Các thuộc tính của số thực

Số thực là gì? Tập hợp các số thực là gì? Các thuộc tính của số thực

I. Số thực là gì?

Hiểu một cách đơn giản: Số thực là tập hợp bao gồm các dạng số dương, số âm, số hữu tỉ, số vô tỉ và số 0.

Tập hợp số thực là $\mathrm{ℝ}$

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R.

Phân loại các dạng số thực thường gặp như:

• Số nguyên: Là những số đơn lẻ như số 0, số nguyên dương (1, 2, 3,...) và số nguyên âm (-1, -2, -3,...)

• Số vô tỉ: Là những số không được viết dưới dạng phân số. ví dụ như: 1.234567, 2.3635748, 3.4675128

• Số hữu tỉ: Là những số có thể được viết dưới dạng phân số, ví dụ: 0.5 (=1/2), 0.75 (=3/4)

II. Thế nào là trục số thực

Trục số thực là một đường thẳng nằm ngang có thể biểu diễn tất cả các số thực bất kỳ giúp người dùng dễ dàng hình dung và làm việc với tập hợp các số thực trong toán học và thực tế.

Một số đặc điểm của trục số thực như:

• Vô hạn: Trục số thực kéo dài vô hạn về cả hai phía, từ âm vô cực đến dương vô cực.

• Điểm gốc: Điểm giữa của trục số thực là số 0, chia trục thành hai phần: phần dương (phía bên phải của 0) và phần âm (phía bên trái của 0).

• Đơn vị khoảng cách: Khoảng cách giữa mỗi đơn vị trên trục số thực là đồng đều. Ví dụ, khoảng cách giữa 0 và 1 là bằng khoảng cách giữa 1 và 2.

• Tính liên tục: Giữa hai điểm bất kỳ trên trục số thực luôn tồn tại một số thực khác.

• Sắp xếp thứ tự: Các số thực được sắp xếp từ nhỏ đến lớn từ trái sang phải.

III. Các thuộc tính của số thực

Số thực là một loại số có hai thuộc tính cơ bản quan trọng đó là: thuộc tính cận trên thấp nhất và thuộc tính trường có thứ tự.

- Thuộc tính cận trên thấp nhất cho biết rằng nếu tập hợp của một số thực không trống có giới hạn trên thì tập hợp này sẽ có cận trên, tức là những số thực nhỏ nhất. Ví dụ, tập hợp {1, 2, 3} có giới hạn trên là 3, vì vậy nó có cận trên là 3.

- Thuộc tính trường có thứ tự cho biết rằng các số thực có thể được sắp xếp hoàn toàn trên một trục số hoành theo một cách tương thích với phép cộng và phép nhân. Điều này có nghĩa là, nếu x và y là hai số thực bất kỳ, thì ta luôn có thể biết được x < y, x = y, hay x > y. Tức là, các số thực tạo thành một trường có thứ tự, mà trong đó phép cộng, trừ, nhân và chia đều được thực hiện theo cách tương thích với thứ tự này.

IV. Tính chất cơ bản của số thực

Dãy số thực liên tục

Tất cả các điểm trên trục số thực đều được phủ lên bởi dãy số thực. Tức là trục số cho phép chúng ta theo dõi tính liên tục của các dãy số thực. Cách vận dụng quy luật tích hợp từ dãy số có ý nghĩa đặc biệt trong toán học và thực tế.

Tính khả đoán của số thực

Quy tắc sử dụng số thực được sắp xếp theo thứ tự, nghĩa là chúng có thể so sánh và xếp hạng các số tùy vào yêu cầu học tập hoặc công việc. Để xây dựng các hệ thống đo lường và chuẩn hóa các đơn vị số không thể thiếu tính chất này.

Tính chất của phép cộng và nhân

Số thực theo nguyên tắc cộng và nguyên tắc nhân là kết quả của hai dạng số thực khác nhau. Cả hai phép tính này đều có tính kết hợp thông dụng của số thực. Bạn có thể hiểu đơn giản ý nghĩa của điều này muốn nói đến tính chất của phép cộng và nhân áp dụng trên số thực sẽ tạo thành hệ số.

Tính chất của phép chia và lũy thừa

Đặc điểm của số thực là gì trong phép tính chia và tính lũy thừa? Khi sử dụng số thực thì bạn nên lưu ý tính chất của phép chia (trừ khi chia cho 0). Kèm theo đó là tính chất của phép lũy thừa bao gồm quy tắc cộng và nhân.

V. Các dạng bài tập về số thực

Dạng 1: Tìm x

Phương pháp giải:

+ Sử dụng từ tính chất của các phép toán

+ Sử dụng quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu. Quan hệ giữa các thừa số trong một tích, quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia.

+ Sử dụng đến quy tắc chuyển vế, phá ngoặc.

Đề bài: 2x + 4x + 3 = 21

Giải: 2x + 4x + 3 = 21

=> 2x + 4x = 18

=> x . (2 + 4) = 18

=> x = 3

Dạng 2: So sánh các số (điền dấu >, <, = )

Phương pháp giải:

Để giải dạng bài tập này cần phải nắm chắc kiến thức dưới đây:

– Với hai số thực x và y bất kì, ta sẽ có như sau: x = y hoặc x < y hoặc x > y.

– Với các số thực lớn hơn số 0 thì được gọi là số thực dương và ngược lại, các số thực nhỏ hơn số 0 thì được gọi là số thực âm.

– Số 0 không phải là số thực dương cũng không là số thực âm.

– Khi so sánh các số thực dương cũng là tương tự như khi so sánh các số hữu tỉ.

– Với hai số a và b là hai số thực dương, điều kiện nếu a > b thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$

Đề bài: 3.234 …. 3.657

=> 3.234 < 3.657

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải:

+ Thực hiện phối hợp các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Tuy nhiên, bạn cần chú ý đến thứ tự thực hiện.

+ Rút gọn các phân số khi cần thiết

+ Chú ý để vận dụng các tính chất của phép toán sao cho thích hợp.

Đề bài: Tính giá trị: 3.103 + 4.27

Giải: 3.103 + 4.27 = 3.(100+3) + 4.(25+2)

= 3.100 + 3.3 + 4.25 + 4.2

= 300 + 9 + 100 + 8

= 417