Thế nào là Hình chóp đều? Hình chóp đều tam giác, tứ giác

Thế nào là Hình chóp đều? Hình chóp đều tam giác, tứ giác

I. Lý thuyết

1. Hình chóp đều là gì?

- Hình chóp đều (hình chóp đa giác đều) là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy ... Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều; các cạnh bên bằng nhau.

a. Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đa giác đều là tâm của đáy.

b. Thể tích hình chóp đều: V = $\frac{1}{3}$. S.h

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao

c. Thể tích hình chóp cụt đều: V = $\frac{1}{3}$.h. ( B.B'+ $\sqrt{BB\text{'}}$)

Trong đó:

B và B’ lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt đều.

h là chiều cao (khoảng cách giữa 2 mặt đáy).

2. Hình chóp tam giác đều

- Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều, các mặt bên (cạnh bên) đều bằng nhau hay hình chiếu của đỉnh chóp xuống đáy trùng với tâm của tam giác đều.

a. Tính chất hình chóp tam giác đều

• Đáy là tam giác đều
• Tất cả các cạnh bên bằng nhau
• Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
• Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là trọng tâm tam giác ABC)
• Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
• Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

Chú ý:

+ Tâm của tam giác đều là giao điểm 3 đường trung tuyến, cũng là đường cao, trung trực và phân

giác trong.

+ Tâm của hình vuông chính là giao điểm hai đường chéo.

b. Diện tích hình chóp đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

Sxq = p.d

(với p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

- Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Ta có công thức sau đây:

Stp = Sxq + S

(với S là diện tích đáy)

3. Hình chóp tứ giác đều

- Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).

a. Tính chất hình chóp tứ giác đều:

• Đáy là hình vuông
• Tất cả các cạnh bên bằng nhau
• Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
• Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy
• Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
• Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

b. Diện tích hình chóp tứ giác đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

Sxq = p.d

(với p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

- Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Ta có công thức sau đây:

Stp = Sxq + S

(với S là diện tích đáy)

c. Thể tích hình chóp tứ giác SABCD là: V = $\frac{1}{3}$.S_ABCD.SO

Trong đó: S_ABCD là diện tích hình vuông ABCD

SO là đường cao kẻ từ O xuống tâm đáy ABCD

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho một hình chóp tam giác đều có chiều dài cạnh đáy là 4cm và trung đoạn của hình chóp tam giác đều là 2cm. Hãy tìm diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó?

Lời giải:

Đầu tiên, theo công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều vừa nêu trên, ta cần xác định được nửa chu vi của đáy hình chóp tam giác đều là bao nhiêu.

Vì là hình chóp tam giác đều nên đáy của hình chóp là một tam giác đều. Từ đó, ta áp dụng công thức tính nửa chu vi hình tam giác đều.

Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:

p = (3 x 4) ÷ 2 = 6 (cm)

→ Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là:

S xung quanh = p * d

=> S xung quanh = 6 x 2 = 12 (cm2)

→ Kết luận: diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là 12 cm2 .

c. Thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC là V_S.ABC = $\frac{1}{3}$. S_ABC.SO

Trong đó: S_ABC là diện tích đáy tam giác đều ABC

SO là đường cao kẻ từ S xuống tâm O mặt đáy ABC

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều S_ABC.

Lời giải

Giải: Dựng SO⊥ ΔABC, Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có: AO = $\frac{2}{3}$. AH = $\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác ABC đều nên tam giác SAO vuông, áp dụng Pi - ta - go ta có: SO² - OA² = $\frac{11a^2}{3}$

$\Rightarrow SO = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}.$S_ABC.SO = $\frac{a^3\sqrt{11}}{12}$

Bài 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Chứng minh rằng S.ABCD là chóp tứ giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải:

Dựng SO⊥(ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD

=> ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông.

Ta có SA2 + SB2 = AB2 + BC2 = AC2 nên ΔASC vuông tại S

$\Rightarrow SO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

V = $\frac{1}{3}$.S_ABCD.SO = $\frac{1}{3}.h^2.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$