Công thức định lý pytago đảo

Công thức định lý Pytago đảo

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Định lý Pytago đảo là một nguyên tắc toán học quan trọng, cho phép chúng ta xác định một tam giác có là tam giác vuông hay không chỉ bằng cách xem xét độ dài của ba cạnh. Theo định lý này, nếu tổng bình phương hai cạnh ngắn hơn bằng bình phương cạnh dài nhất, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Mathematically, điều này được biểu diễn bởi công thức:

$${𝑐}^2={𝑎}^2+{𝑏}^2$$

trong đó $𝑐$ là cạnh huyền, và $𝑎$ và $𝑏$ là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.

2. Chứng minh

• Giả sử: Cho tam giác ABC, với cạnh AC là cạnh huyền và hai cạnh AB và BC là các cạnh góc vuông.
• Phát biểu định lý: Cần chứng minh rằng $𝐴{𝐶}^2=𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2$.
• Bước chứng minh:
  • Dựng đường cao từ điểm B xuống cạnh AC tại điểm D.
  • Chứng minh tam giác ADB và tam giác BDC là các tam giác vuông (sử dụng định lý Pytago thuận cho mỗi tam giác).
  • Áp dụng định lý Pytago thuận cho cả hai tam giác vuông ADB và BDC, ta có:
    • $𝐴{𝐷}^2+𝐵{𝐷}^2=𝐴{𝐵}^2$
    • $𝐵{𝐷}^2+𝐷{𝐶}^2=𝐵{𝐶}^2$
  • Cộng hai phương trình trên, ta được $𝐴{𝐷}^2+2𝐵{𝐷}^2+𝐷{𝐶}^2=𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2$.
  • Do $𝐴𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐶$ và $𝐴{𝐷}^2+𝐷{𝐶}^2=𝐴{𝐶}^2-2𝐴𝐷\times 𝐷𝐶$, suy ra $𝐴{𝐶}^2=𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2$.
• Kết luận: Vì $𝐴{𝐶}^2=𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2$, theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 4cm, và BC = 5cm. Ta cần xác định xem tam giác này có phải là tam giác vuông hay không.

Bước tính toán:

• • Tính bình phương của các cạnh: $𝐴{𝐵}^2=9$, $𝐴{𝐶}^2=16$, $𝐵{𝐶}^2=25$.
  • Kiểm tra đẳng thức: $𝐴{𝐵}^2+𝐴{𝐶}^2=9+16=25$.
  • So sánh với bình phương cạnh BC: $𝐵{𝐶}^2=25$.
  • Vì $𝐴{𝐵}^2+𝐴{𝐶}^2=𝐵{𝐶}^2$, theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A

Ví dụ 2:

Xét tam giác DEF với các cạnh DE = 5cm, DF = 12cm, và EF = 13cm.

Bước tính toán:

• • • Tính bình phương của các cạnh: $𝐷{𝐸}^2=25$, $𝐷{𝐹}^2=144$, $𝐸{𝐹}^2=169$
    • Kiểm tra đẳng thức: $𝐷{𝐸}^2+𝐷{𝐹}^2=25+144=169$.
    • So sánh với bình phương cạnh EF: $𝐸{𝐹}^2=169$.
    • Vì $𝐷{𝐸}^2+𝐷{𝐹}^2=𝐸{𝐹}^2$, theo định lý Pytago đảo, tam giác DEF là tam giác vuông tại E.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có $𝐴𝐵=2,𝐵𝐶=3,𝐶𝐴=\sqrt{13}$

1. Tam giác ABC có phải tam giác vuông hay không?
2. Nếu vuông thì vuông ở góc nào?
3. Vẽ hình minh họa

Dễ thấy cạnh CA có độ dài lớn nhất, nếu ta có đẳng thức $𝐶{𝐴}^2=𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2$ thì tam giác ABC là tam giác vuông

Lời giải:

a) Ta có:

• $𝐶{𝐴}^2={\sqrt{13}}^2=13$
• $𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2=2^2+3^2=4+9=13$

Suy ra $𝐶{𝐴}^2=𝐴{𝐵}^2+𝐵{𝐶}^2$

=> Theo định lí Pytago đảo thì tam giác ABC là tam giác vuông.

b) Tam giác ABC vuông tại B

c)

Bài 2: Cho tam giác ABC có: AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm. Chứng minh $\widehat{BAC}=90°$.

Lời giải:

Ta có:

$A{B}^2=6^2=36$

$A{C}^2=8^2=64$

$B{C}^2={10}^2=100$

$A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lý Py – ta – go đảo)

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90°$ (điều phải chứng minh)

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi M là trung điểm của BC. Tính AM.

Lời giải:

Vì ABC là tam giác cân $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{B}=\widehat{C}\end{array}\right.$ (tính chất)

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (chứng minh trên)

MB = MC (chứng minh trên)

Do đó $\Delta ABM=\Delta ACM$ (c – g – c)

$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Lại có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90°$

Xét tam giác ABM vuông tại M có:

$A{B}^2=A{M}^2+M{B}^2$ (định lý Py – ta – go)

Mà AB = 10cm; $MB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.12=6cm$ nên

${10}^2=A{M}^2+6^2$

$A{M}^2=100-36$

$A{M}^2=64$

AM = 8cm

Vậy AM = 8cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH² - BH² = AC²

^{Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Biết AB = 17 cm, BC = 16 cm. Tính AM.}