Cách xét tính đơn điệu của hàm số và bài tập (2024) có đáp án

Cách xét tính đơn điệu của hàm số và bài tập

I. Lý thuyết

Tính đơn điệu của hàm số là một thuộc tính quan trọng để nghiên cứu sự biến đổi của hàm số trên một khoảng cụ thể. Một hàm số được coi là đơn điệu trên một khoảng nào đó nếu giá trị của hàm này luôn thay đổi theo cùng một hướng khi biến đổi độc lập của biến đầu vào trên khoảng đó.

Có hai loại tính đơn điệu quan trọng chính:

Tính đơn điệu tăng : Một hàm số f(x) được gọi là đơn điệu tăng trên một khoảng [a, b] nếu với mọi x1 và x2 thuộc khoảng [a, b] với x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Nghĩa là, khi biến đổi x từ x1 đến x2, giá trị của hàm số luôn tăng hoặc không giảm.

Tính đơn điệu giảm : Một hàm số f(x) được gọi là đơn điệu giảm trên một khoảng [a, b] nếu với mọi x1 và x2 thuộc khoảng [a, b] với x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2). Nghĩa là, khi biến đổi x từ x1 đến x2, giá trị của hàm số luôn giảm hoặc không tăng.

Tính đơn điệu có thể được xác định bằng cách sử dụng đạo hàm của hàm số. Nếu đạo hàm của hàm số luôn dương (hoặc không âm) trên khoảng cần xem xét, thì hàm số là đơn điệu tăng. Nếu đạo hàm luôn âm (hoặc không dương) trên khoảng đó, thì hàm số là đơn điệu giảm.

Tính đơn điệu của hàm số là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa, thống kê, và các lĩnh vực khác.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

II. Cách xét tính đơn điệu của hàm số

Tìm khoảng cần xét tính đơn điệu: Xác định khoảng trên đó bạn muốn kiểm tra tính đơn điệu của hàm số. Điều này thường đòi hỏi bạn phải biết rõ miền xác định của hàm số.

Tính đạo hàm của hàm số: Tính đạo hàm của hàm số ban đầu. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của các hàm cơ bản và luật chuỗi nếu cần.

+ Đạo hàm của hàm số mũ: Nếu bạn có hàm số dạng f(x) = a^x, với a là hằng số dương, thì đạo hàm của nó là f'(x) = a^x . ln(a).

+ Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Nếu bạn có hàm số dạng f(x) = x^n, với n là một số thực, thì đạo hàm của nó là f'(x) = n . x^n-1.

+ Đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm số: Nếu bạn có hàm số f(x) = g(x) + h(x) hoặc f(x) = g(x) - h(x), thì đạo hàm của nó là f'(x) = g'(x) + h'(x) hoặc f'(x) = g'(x) - h'(x) tương ứng.

Kiểm tra dấu của đạo hàm: Xem xét dấu của đạo hàm trên khoảng cần xét. Điều này sẽ giúp bạn xác định tính đơn điệu của hàm số. Cụ thể: Nếu đạo hàm luôn dương (hoặc không âm) trên khoảng đó, thì hàm số là đơn điệu tăng trên khoảng đó. Nếu đạo hàm luôn âm (hoặc không dương) trên khoảng đó, thì hàm số là đơn điệu giảm trên khoảng đó. Nếu đạo hàm không thay đổi dấu trên khoảng đó (không dương cũng không âm), thì hàm số không đơn điệu trên khoảng đó.

Kết luận tính đơn điệu: Dựa trên kết quả kiểm tra dấu của đạo hàm, bạn có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên khoảng đó. Lưu ý rằng tính đơn điệu của hàm số có thể khác nhau trên các khoảng khác nhau. Điều này đòi hỏi bạn phải xét tính đơn điệu cho từng khoảng cụ thể trên miền xác định của hàm số.

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x² trên khoảng [-2, 2].

Khoảng cần xét: Khoảng [-2, 2].

Đạo hàm của hàm số: f'(x) = 2x.

Kiểm tra dấu của đạo hàm:

- Khi x < 0, f'(x) < 0, nên hàm số là đơn điệu giảm trên khoảng này.

- Khi x > 0, f'(x) > 0, nên hàm số là đơn điệu tăng trên khoảng này.

- Khi x = 0, f'(x) = 0.

Kết luận tính đơn điệu: Hàm số f(x) = x² là đơn điệu giảm trên khoảng [-2, 0] và đơn điệu tăng trên khoảng [0, 2].

III. Điều kiện để làm số đơn điệu

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K, thì f'(x) ≥ 0 cho mọi x ∈ K và f'(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn trên khoảng K.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K, thì f'(x) ≤ 0 cho mọi x ∈ K và f'(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn trên khoảng K.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Nếu f'(x) > 0 cho mọi x ∈ K, thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) < 0 cho mọi x ∈ K, thì hàm số nghịch biến trên khoảng K. Nếu f'(x) = 0 cho mọi x ∈ K, thì hàm số không đổi trên khoảng K.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = 2x³ - 3x² - 12x trên khoảng [-2, 3].

Bài 2: Xác định tất cả các khoảng con trên đó hàm số y = x⁴ - 4x³ + 6x² - 2x + 1 là đồng biến và nghịch biến.

Bài 3: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = e^x + 2x trên khoảng (-∞, 0).

Bài 4: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = ln(x²) trên khoảng (1, ∞).

Bài 5: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = 1/(x³) trên khoảng (-∞, -1).

Bài 6: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = sin(x) - cos(x) trên khoảng [0, $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$].

Bài 7: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = x² - 4x + 4 trên khoảng [0, 3].

Bài 8: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = $\frac{1}{x^4}$ trên khoảng (0, ∞).

Bài 9: Xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = tan(2x) trên khoảng (-$\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$).

Bài 10: Xác định khoảng trên đó hàm số y = 3x³ - 9x² + 6x - 2 là đồng biến và nghịch biến.

Bài 11: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = $\frac{3-2x}{x+7}$

Bài 12: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x⁴ + 4x + 6

Bài 13: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y= |x² - 2x - 3|

Bài 14: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]