Cách chứng minh đường trung trực

Cách chứng minh đường trung trực

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Trong hình học phẳng, đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2. Tính chất

a) Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

- Định lý 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của 1 đoạn thẳng thì cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó.

- Định lí 2 (định lí đảo): Điểm cách đều 2 đầu mút của 1 đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

b) Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

c) Tính chất đường trung trực của tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy còn được gọi là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

d) Tính chất đường trung trực của tam giác vuông

Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền chính là giao điểm của 3 đường trung trực. Tam giác ABC vuông tại B, giao điểm của 3 đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.

e) Tính chất đường trung với đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

3. Cách chứng minh

• Phương pháp 1: Chứng minh d vuông góc AB tại trung điểm AB
• Phương pháp 2: Chứng minh 2 điểm trên d cách đều 2 điểm A và B
• Phương pháp 3: Dùng tính chất đường trung tuyến, đường cao
• Phương pháp 4: Áp dụng tính chất đối xứng của trục
• Phương pháp 5: Áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải:

Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB

Suy ra, tam giác ADB cân tại D.

Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC

Suy ra, tam giác AEC cân tại E.

Ví dụ 2: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC

Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC

Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC nên kết luận A, D, E thẳng hàng (điều phải chứng minh).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?

Giải:

Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: EA = EB = EC

Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100

=> AC = 10 cm

=> EA = EB = EC = AC/2 = 5 cm

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho: BE = AB. Chứng minh rằng: AD = DE.

Giải

Xét tam giác ABD và tam giác EBD, có:

BD là cạnh chung

BE = AB (đề bài đã cho)

góc ABD = góc DBE (vì BD là tia phân giác của góc B)

=> Tam giác ABD = tam giác EBD (c.g.c)

=> AD = DE (điều phải chứng minh).

Bài 3: Chứng minh đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Giải

P, Q là giao điểm của hai cung tròn tâm M, N có cùng bán kính nên:

PM = PN (= bán kính cung tròn).

QM = QN (= bán kính cung tròn).

Suy ra P và Q cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Vậy PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Bài 4: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Giải:

Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC

⇒ A thuộc đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC

⇒ D thuộc đường trung trực của BC

Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC

⇒ E thuộc đường trung trực của BC

Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC

Vậy A, D, E thẳng hàng

Bài 5:Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là trung trực của AC.

a) Hãy so sánh MA + MB với BC.

b) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

Giải:

a) Gọi H là giao điểm của a với AC

∆MHA = ∆MHC (c.g.c) => MA = MC.

Do đó:

MA + MB = MC + MB.

Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC (chứng minh được NA = NC).

Nếu M không trùng với N thì:

MA + MB = MC + MB > BC (bất đẳng thức trong ∆BMC).

Nếu M trùng với N thì :

MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC.

Vậy MA + MB ≥ BC.

b) Từ câu a) ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC?

Giải:

Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:

EA = EB = EC

Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được:

Bài 7: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Bài 8: Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Bài 9: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.