Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

1. Khái niệm hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C".

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Trường hợp 1: Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).

Ví dụ:

Xét tam giác vuông ABC và tam giác DEF ta có:

AB = DE

BC = EF

=> ∆ABC = ∆DEF (cạnh – góc – cạnh)

Trường hợp 2: Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (góc– cạnh – góc)

Ví dụ:

$\widehat{ABC}=\widehat{FHI}={90}^o$

BC = HI => ∆ABC = ∆FHI (góc – cạnh – góc)

Trường hợp 3: Cạnh Huyền và góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn)

Ví dụ minh họa:

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và góc nhọn

Trường hợp 4: Cạnh huyền và cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Ví dụ minh họa:

3. Các dạng bài về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Dạng 1: Chứng minh các tam giác vuông bằng nhau

Ở dạng này chúng ta sẽ xét hai tam giác vuông, rồi kiểm tra các điều kiện bằng nhau: cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc, cạnh huyền - góc nhọn hoặc cạnh huyền - cạnh góc vuông. Từ đó, xác định xem hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào và đưa ra kết luận hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ: Cho ΔABC , BE và CD là đường cao của ΔABC . Chứng minh rằng: ΔBCD =ΔCBE , biết BD = EC.

Giải:

GT	ΔABC , CD ⊥ AB , CE ⊥ AB (D ∈ AB , E ∈ AC) BD = EC
KL	ΔBCD = ΔCBE

Xét ΔBCD vuông tại D và ΔCBE vuông tại E có:

BD = CE (gt)

Cạnh BC chung.

Nên ΔBCD = ΔCBE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Dạng 2: Chứng minh góc và đoạn thẳng bằng nhau

Nếu thấy tam giác vuông thì cần tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có ít nhất một điều kiện về cạnh để chứng minh hai tam giác đó là bằng nhau vậy mới có thể chứng minh hai cạnh hay góc tương ứng bằng nhau.

Ví dụ: Các tam giác ABC cân tại A ($\hat{A}<{90}^o$). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB).

a) Chứng minh rằng AH = AK.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tia AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Giải:

GT	ΔABC ($\hat{A}<{90}^o$ ) , AB = ACBH ⊥ AC , CK ⊥ AB ( H ∈ AC , K ∈ AB) BH ∩ CK = I
KL	a) Chứng minh rằng AH = AK. b) Tia AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

$\hat{A}$ chung.

Nên ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AH = AK (hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAIH vuông tại H và ΔAIK vuông tại K có:

AK = AH (cmt)

AI cạnh chung

Nên ∆AIK = ∆AIH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{IAK} = \widehat{IAH}$ (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của ˆBAC.

Dạng 3: Tìm thêm các điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau

Với dạng bài này trước tiên bạn cần đọc kĩ đề bài và vẽ hình để có thể xem hai tam giác vuông đã có những yếu tố nào bằng nhau. Từ đó, bạn tính toán thêm xem cần phải bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác vuông đó có thể bằng nhau.

Ví dụ: Các tam giác ABC và MNP có $\hat{A}=\hat{M}={90}^o$ , $\hat{B}=\hat{M}$. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ∆ABC = ∆MNP.

Giải:

* Trường hợp 1: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề.

Xét hai tam giác vuông ABC và MNP có:

+) ˆB = ˆN (giả thiết)

Bổ sung AB = MN thì ΔABC = ΔMNP (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

* Trường hợp 2: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp hai cạnh huyền – góc nhọn.

Xét hai tam giác vuông ABC và MNP có:

+) ˆ B = ˆ N (giả thiết)

Bổ sung BC = NP thì ΔABC = ΔMNP (cạnh huyền - góc nhọn).

4. Bài tập vận dung

4.1 Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90°.Cần điều kiện gì để tam giác ABC bằng tam giác NPM theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông?

A. BA = PM

B. BA = PN

C. CA = MN

D. ∠A = ∠N

Ta có hai tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90° mà BC, PM là hai cạnh góc vuông của tam giác ABC và NPM nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm điều kiện CA = MN

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác MNP có ∠A = ∠M = 90°, ∠C = ∠P. Cần điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?

A. AC = MP

B. AB = MN

C. BC = NP

D. AC = MN

Ta có: ∠C = ∠P mà góc C và góc P là hai góc nhọn kề của tam giác ABC và tam giác MNP

Do đó để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh hóc vuông – góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện AC = MP Chọn đáp án A.

Bài 3: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có: ∠B = ∠E = 90°, AC = DF, ∠A = ∠F. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. ΔABC = ΔFED

B. ΔABC = ΔFDE

C. ΔBAC = ΔFED

D. ΔABC = ΔDEF

Xét tam giác ABC và tam giác FED có:

==, AC = DF, =Suy ra ΔABC = ΔFED

Chọn đáp án A.

Bài 4: Cho tam giác ABC và tam giác KHI có: ∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. ΔABC = ΔKHI

B. ΔABC = ΔHKI

C. ΔABC = ΔKIH

D. ΔACB = ΔKHI

Xét tam giác ABC và tam giác KHI có:

∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI

⇒ ΔABC = ΔKHI

Chọn đáp án A

4.2 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Chứng minh rằng:

a) HB = HC

b) AH là tia phân giác của góc BAC.

Giải:

a) ΔABH = ΔACH (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ H B = H C

b) Từ câu a ta có: ˆ BAH = ˆCAH

Bài 2: Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Kẻ đường vuông góc với Ox tại A, đường vuông góc với Oy tại B, chúng cắt nhau tại C.

a) Chứng minh: OC là tia phân giác của góc xOy.

b) Gọi I là điểm bất kì thuộc OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN.

Giải:

a) ΔOAC = ΔOBC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ ˆAOC = ˆBOC nên OC là tia phân giác góc xOy.

b) ΔOMI = ΔONI (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ IM = IN

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và cách giải - Toán lớp 7

Hai tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác – Toán lớp 7