Đường trung trực là gì? Tính chất, cách viết phương trình đường trung trực

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách viết phương trình đường trung trực

I. Đường trung trực là gì?

1. Thế nào là đường trung trực?

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Vì đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Mà mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một điểm là trung điểm cho nên mỗi đoạn thẳng có duy nhất 1 đường trung trực.

2. Cách xác định đường trung trực của một đoạn thẳng

Để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng, ta thực hiện các bước sau đây:

B1. Vẽ đoạn thẳng AB trên mặt phẳng.

B2. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB bằng cách chia đoạn AB thành hai phần bằng nhau. Ký hiệu trung điểm là M.

B3. Vẽ một đường thẳng nằm qua trung điểm M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Đường này chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

B4. Đường trung trực này cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M và có hướng đi qua trung điểm M là vuông góc đối với đoạn thẳng AB.

B5. Kiểm tra lại kết quả bằng cách đo góc giữa đường trung trực và đoạn thẳng AB. Nếu góc này là 90 độ, tức là đường trung trực đã được xác định chính xác.

3. Cách vẽ đường trung trực

Cách 1: Cho một đoạn thẳng AB. Để vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

- Vẽ đoạn thẳng AB. Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB cách đều 2 điểm A và B..

- Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M.

Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách 2: Vẽ đoạn thẳng AB.

Dùng compa vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B bán kính bằng nhau (độ dài bán kính bất kỳ). Hai đường tròn giao nhau tại hai điểm M và N.

Kẻ đường thẳng MN. Ta được đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách vẽ này chính là tính chất đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn giao nhau là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn.

Để chứng minh, ta có:

Hai cung tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại M, N nên AM = BM và AN = BN ⇒ M và N cách đều hai mút A, B của đoạn thẳng AB

Theo định lí 2 (được trình bày dưới đây) thì M và N thuộc đường trung trực của AB hay đường thẳng qua M và N là đường trung trực của AB.

Vậy MN là đường trung trực của AB.

II. Tính chất của đường trung trực

1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Gỉa sử: d là trung trực của AB, M ∈ d

=> MA = MB

Định lí 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Giả sử chứng minh được MA = MB => M thuộc đường trung trực của AB

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trên hình, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC.

Ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

3. Tính chất đường trung trực của tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. Đường trung trực của tam giác cân

4. Tính chất đường trung trực của tam giác vuông

Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền. Tam giác ABC vuông tại B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.

III. Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB:

+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

⇒ (d) : đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc AB.

⇒ phương trình đường thẳng (d):

⇒ Phương trình đường thẳng d.

Ví dụ: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(4; -1). Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB.

A. x - y - 1 = 0

B. 2x - 3y + 1 = 0

C. 2x + 3y - 5 = 0

D. 3x - 2y - 1 = 0

Lời giải

+ Gọi M trung điểm của AB. Tọa độ của M là :

⇒ M( 1; 1)

+ Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (6; -4) = 2(3; -2)

+ Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M( 1; 1) và nhận n→ = (3; -2) làm VTPT.

Phương trình (d): 3(x - 1) - 2(y - 1) = 0

Hay (d): 3x - 2y - 1 = 0

Chọn D.

IV. Các dạng bài tập về đường trung trực

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

- Phương pháp:

Để chúng minh dd là đường trung trực của đoạn thẳng ABAB, ta chứng minh dd chứa hai điểm cách đều AA và BB hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.

- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác

Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp:

Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp:

Ta chú ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền

V. Bài tập đường trung trực

Câu 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; -4) và B( 3 ; -4) có phương trình là :

A. y + 4 = 0 B. x + y - 2 = 0 C. x - 2 = 0 D. y - 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.

Tọa độ điểm I là : ⇒ I( 2 ; -4)

Đường thẳng d :

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

2(x - 2) + 0( y + 4) = 0 hay x - 2 = 0

Câu 2: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; -3) và B(6 ; 7) có phương trình là:

A.2x + 5y - 18 = 0 B. 2x - 5y + 1 =0 C. 2x - 5y -1 = 0 D. 2x + 5y = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.

Tọa độ điểm I là : ⇒ I(4 ; 2)

Đường thẳng d :

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

2(x - 4) + 5(y - 2) = 0 hay 2x + 5y - 18 = 0

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(2 ; - 4) là trung điểm của BC và B(1 ;3). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?

A. x + 7y - 3 = 0 B. x - 7y + 1 = 0 C. x + 7y + 26 = 0 D. x - 7y - 30 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.

+ Đường thẳng AM :

⇒ Phương trình AM : 1(x - 2)- 7(y + 4) = 0 hay x - 7y - 30 = 0

Câu 4: Cho tam giác ABC có phương trình BC : 2x - y + 3 = 0 ; đường trung tuyến
BM : 4x + y + 9 = 0 và đường phân giác CK : 3x + y - 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?

A. 2x - y - = 0 B. 2x + y - 2,5 = 0 C. x + 2y - 2,5 =0 D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :

⇒ B(-2 ; -1)

+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :

⇒ C(0,6 ; 4,2)

+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :

⇒ M(-0,7 ; 1,6)

+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :

(d) :

⇒ Phương trình d : 1(x + 0,7) + 2(y - 1,6) = 0 hay x + 2y - 2,5 = 0

Câu 5: Cho tam giác ABC có = 30⁰; = 120⁰. Gọi M(1; 2) là trung điểm BC và C(-2; 4). Viết phương trình đường trung trực của BC?

A. 2x + y - 3 = 0 B. 3x - 2y + 5 = 0 C. 2x + 3y - 5 =0 D. 3x - 2y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Xét tam giác ABC có: = 180⁰ - - = 30⁰

⇒ = nên tam giác ABC cân tại A.

Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.

+ Đường thẳng AM :

⇒ Phương trình AM : 3(x - 1) - 2(y - 2) = 0 hay 3x - 2y + 1 = 0

Câu 6: Cho tam giác ABC có điểm B(-2; 4); phương trình đường thẳng
AC: x + 2y - 6 = 0 và đường phân giác trong CN: 2x - 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC?

A. 2x - y + 3 =0 B. 2x + y - 4 = 0 C. x - 2y + 3 = 0 D. x - 2y = 0

Lời giải:

Đáp án: A

+ Hai đường thẳng AC và CN cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ:

⇔ x = 2; y = 2 ⇒ C( 2; 2).

+ Gọi d là đường trung trực của BC.

+ Trung điểm của BC là M( 0; 3).

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình đường thẳng d: 2(x - 0) – 1(y - 3) = 0 hay 2x - y + 3 = 0

Câu 7: Cho điểm A(- 2 ; 5) ; điểm B(m - 2 ; 1 - m). Phương trình đường trung trực của AB là (d) 2x - 3y + 10 = 0. Tìm m ?

A. m = B. m = C. m = 8 D. m =

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -3) .

+ vecto AB→( m ; - m - 4).

Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương

⇔ ⇔ - 3m = - 2m - 8

⇔ - m = - 8 nên m = 8