Công thức tính đường chéo của hình thoi và bài tập (có đáp án 2026)

Công thức tính đường chéo của hình thoi và cách giải các dạng bài tập

I. Lý thuyết

1. Hình thoi là gì?

Hình thoi là một hình học hai chiều có bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau, tạo thành một góc vuông giữa hai cạnh đối diện. Điểm giao nhau của hai đường chéo được gọi là trung điểm của hình thoi và cũng là tâm của nó. Hình thoi có các đặc tính hình học đặc biệt, bao gồm đối xứng trục qua tâm, đối xứng đường chéo và các góc đối diện bằng nhau. Hình thoi thường được sử dụng trong toán học, hình học, vật lý và nhiều lĩnh vực khác.

2. Đặc điểm của hình thoi

Đặc điểm của hình thoi bao gồm:

– Bốn cạnh bằng nhau: Các cạnh của hình thoi có độ dài bằng nhau, do đó đây là một hình học đều.

– Hai đường chéo bằng nhau: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài bằng nhau và cắt nhau vuông góc tại trung điểm của hình thoi.

– Đối xứng trục qua tâm: Hình thoi có đối xứng trục qua tâm của nó, nghĩa là nếu bạn vẽ một đường thẳng đi qua tâm của hình thoi, hình thoi sẽ được chia thành hai phần đối xứng.

– Đối xứng đường chéo: Hình thoi cũng có đối xứng đường chéo, nghĩa là nếu bạn vẽ một đường thẳng đi qua trung điểm của một cặp cạnh đối diện của hình thoi, hình thoi sẽ được chia thành hai phần đối xứng.

– Các góc đối diện bằng nhau: Các góc đối diện của hình thoi có độ lớn bằng nhau, do đó là hình học cân.

– Tâm của hình thoi: Trung điểm của hai đường chéo của hình thoi là tâm của nó.

Những đặc điểm này giúp hình thoi trở thành một hình học đặc biệt và có nhiều ứng dụng trong toán học, hình học và vật lý.

3. Đường chéo của hình thoi

Đường chéo của hình thoi là đường nối hai đỉnh đối diện của hình thoi. Hình thoi có hai đường chéo, và chúng cắt nhau tại trung điểm của hình thoi. Đường chéo chia hình thoi thành hai tam giác đều với các cạnh bằng nhau. Độ dài của đường chéo có thể được tính bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, với độ dài của hai cạnh bằng nhau của hình thoi là độ dài của hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Do đó, độ dài của một đường chéo trong hình thoi là bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông của nó.

4. Tính chất hai đường chéo hình thoi

Hai đường chéo trong hình thoi có các tính chất sau:

– Hai đường chéo bằng nhau: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài bằng nhau.

– Góc giữa hai đường chéo là góc vuông: Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của hình thoi và tạo thành một góc vuông.

– Đường chéo là trục đối xứng của hình thoi: Mỗi đường chéo của hình thoi là trục đối xứng của hình thoi, chia hình thoi thành hai nửa đối xứng.

– Đường chéo là đường chéo của hai tam giác đều: Mỗi đường chéo của hình thoi là đường chéo của hai tam giác đều, được tạo thành bởi các cạnh bằng nhau.

– Tích của độ dài hai đường chéo bằng tích của độ dài hai cạnh góc vuông của hình thoi: Tích của độ dài hai đường chéo của hình thoi bằng tích của độ dài hai cạnh góc vuông của hình thoi. Tức là, nếu chúng ta ký hiệu đường chéo là d, cạnh góc vuông là a và b, ta có d² = a² + b².

Những tính chất này là những tính chất đặc trưng của hình thoi và được sử dụng trong nhiều bài toán hình học liên quan đến hình thoi.

5. Công thức tính đường chéo hình thoi

Độ dài đường chéo của hình thoi có thể được tính bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, với độ dài của hai cạnh góc vuông của hình thoi là độ dài của hai cạnh bằng nhau của tam giác đều. Do đó, công thức tính độ dài của đường chéo trong hình thoi là:

Đường chéo = căn bậc hai của (cạnh hình thoi)² + (cạnh hình thoi)²

Công thức này cũng có thể được viết dưới dạng:

Đường chéo = căn bậc hai của 2(cạnh hình thoi)²

Ví dụ, nếu hình thoi có độ dài cạnh là 5, thì độ dài đường chéo của hình thoi sẽ là:

Đường chéo = căn bậc hai của (5)² + (5)² = căn bậc hai của 50 = 7.07 (đơn vị độ dài).

Vậy đường chéo của hình thoi có độ dài khoảng 7.07 đơn vị độ dài.

Ngoài ra, ta có thể sử dụng công thức tính đường chéo trong hình thoi dựa trên diện tích của hình thoi như sau:

Đường chéo = căn bậc hai của 4 x Diện tích hình thoi / độ dài một cạnh.

Công thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng công thức tính diện tích của hình thoi là S = độ dài cạnh x độ dài đường cao kết hợp với công thức tính độ dài của đường cao của hình thoi là:

Đường cao = 2 x căn bậc hai của (cạnh hình thoi)² – (đường chéo)² / 4

Từ đó suy ra được công thức tính đường chéo dựa trên diện tích của hình thoi.

Như vậy, để tính độ dài đường chéo trong hình thoi, ta có thể sử dụng một trong hai công thức trên.

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các tính chất hình học của hình thoi để tính độ dài đường chéo mà không cần sử dụng định lý Pythagoras. Cụ thể:

– Đường chéo của hình thoi là trung bình cộng của hai đường cao.

– Đường chéo của hình thoi là nửa chu vi của hình thoi.

Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, vì vậy chu vi của nó sẽ là tổng độ dài bốn cạnh. Do đó, công thức tính độ dài đường chéo của hình thoi dựa trên chu vi của nó sẽ là:

Đường chéo = 1/2 x chu vi hình thoi.

Ta cũng có thể tính độ dài của hai đường cao của hình thoi, rồi tính trung bình cộng của chúng để tìm độ dài đường chéo. Công thức này sẽ là:

Đường chéo = căn bậc hai của (đường cao dài + đường cao ngắn)².

Các công thức này đều cho kết quả độ dài của đường chéo trong hình thoi và có thể được sử dụng tùy thuộc vào tình huống cụ thể của bài toán.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1/ Hình thoi ABCD có cạnh bằng 10 đơn vị. Tính độ dài đường chéo của hình thoi.

Giải: Độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là:

Đường chéo = căn bậc hai của 2(10²) = căn bậc hai của 200 = 14.14 đơn vị độ dài.

Vậy độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là 14.14 đơn vị độ dài.

Bài 2/ Hình thoi ABCD có đường chéo bằng 8 đơn vị. Tính diện tích của hình thoi.

Giải: Độ dài một đường cao của hình thoi ABCD bằng một nửa đường chéo, tức là 4 đơn vị. Do đó, diện tích của hình thoi ABCD là:

Diện tích = đường chéo x đường cao / 2 = 8 x 4 / 2 = 16 đơn vị vuông.

Vậy diện tích của hình thoi ABCD là 16 đơn vị vuông.

Bài 3/ Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 6 đơn vị. Tính độ dài đường cao của hình thoi.

Giải: Đường cao của hình thoi ABCD có độ dài bằng một nửa đường chéo, tức là:

Đường cao = đường chéo / 2 = 6 / 2 = 3 đơn vị độ dài.

Vậy độ dài đường cao của hình thoi ABCD là 3 đơn vị độ dài.

Bài 4/ Hình thoi ABCD có đường chéo bằng 12 đơn vị. Tính chu vi của hình thoi.

Giải: Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, chu vi của nó sẽ là tổng độ dài bốn cạnh, tức là:

Chu vi = 4 x độ dài cạnh = 4 x 6 = 24 đơn vị độ dài.

Vậy chu vi của hình thoi ABCD là 24 đơn vị độ dài.

Bài 5/ Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 24 đơn vị. Tính độ dài đường chéo của hình thoi.

Giải: Chu vi của hình thoi ABCD là:

Chu vi = 4 x độ dài cạnh = 24 đơn vị độ dài.

Từ đó, ta có độ dài của mỗi cạnh của hình thoi là:

Độ dài cạnh = chu vi / 4 = 24 / 4 = 6 đơn vị độ dài.

Do đó, độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là:

Đường chéo = căn bậc hai của 2(6²) = căn bậc hai của 72 = 8.49 đơn vị độ dài.

Vậy độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là 8.49 đơn vị độ dài.

Bài 6/ Hình thoi ABCD có diện tích bằng 18 đơn vị vuông. Tính độ dài đường chéo của hình thoi.

Giải: Độ dài đường chéo của hình thoi ABCD có thể được tính bằng công thức:

Đường chéo = căn bậc hai của 4 x diện tích / độ dài cạnh

Do đó, độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là:

Đường chéo = căn bậc hai của 4 x 18 / 6 = căn bậc hai của 72 / 6 = căn bậc hai của 12 = 3.46 đơn vị độ dài.

Vậy độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là 3.46 đơn vị độ dài.

Bài 7/ Cho hình thoi ABCD có đường chéo bằng 5 đơn vị. Tính diện tích của hình thoi.

Giải: Độ dài một đường cao của hình thoi ABCD bằng một nửa đường chéo, tức là 2.5 đơn vị độ dài. Do đó, diện tích của hình thoi ABCD là:

Diện tích = đường chéo x đường cao / 2 = 5 x 2.5 / 2 = 6.25 đơn vị vuông.

Vậy diện tích của hình thoi ABCD là 6.25 đơn vị vuông.

Bài 8/ Hình thoi ABCD có chu vi bằng 20 đơn vị. Tính độ dài đường chéo của hình thoi.

Giải: Chu vi của hình thoi ABCD là:

Chu vi = 4 x độ dài cạnh = 20 đơn vị độ dài.

Từ đó, ta có độ dài của mỗi cạnh của hình thoi là:

Độ dài cạnh = chu vi / 4 = 20 / 4 = 5 đơn vị độ dài.

Do đó, độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là:

Đường chéo = căn bậc hai của 2(5²) = căn bậc hai của 50 = 7.07 đơn vị độ dài.

Vậy độ dài đường chéo của hình thoi ABCD là 7.07 đơn vị độ dài.

Hình thoi ABCD có chu vi bằng 30 đơn vị. Tính diện tích của hình thoi.

Bài 9/ Hình thoi ABCD có chu vi bằng 30 đơn vị. Tính diện tích của hình thoi.

Giải: Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, chu vi của nó sẽ là tổng độ dài bốn cạnh, tức là:

Chu vi = 4 x độ dài cạnh

Do đó, độ dài của mỗi cạnh của hình thoi là:

Độ dài cạnh = chu vi / 4 = 30 / 4 = 7.5 đơn vị độ dài.

Để tính diện tích của hình thoi ABCD, ta có thể sử dụng công thức sau:

Diện tích = đường chéo x đường cao / 2

Với hình thoi ABCD, ta biết rằng:

Đường chéo của nó có độ dài 2 căn bậc hai lần độ dài cạnh (tức là 2 căn bậc hai lần 7.5).

Đường cao của nó bằng một nửa độ dài đường chéo (tức là căn bậc hai lần 7.5).

Do đó, diện tích của hình thoi ABCD là:

Diện tích = 2 căn bậc hai x 7.5 x căn bậc hai x 7.5 / 2 = 56.25 đơn vị vuông.

Vậy diện tích của hình thoi ABCD là 56.25 đơn vị vuông.

Bài 10/ Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 12 đơn vị. Tính độ dài đường cao của hình thoi.

Giải: Đường cao của hình thoi ABCD có độ dài bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo, tức là:

Đường cao = đường chéo / 2 = căn bậc hai của 2(12²) / 2 = căn bậc hai của 288 / 2 ≈ 12.73 đơn vị độ dài.

Vậy độ dài đường cao của hình thoi ABCD là khoảng 12.73 đơn vị độ dài.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1.

a) Cho hình thoi ABCD có hai đường cao AH, AK. Chứng minh AH = AK.

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh ABCD là hình thoi.

Bài 2. Hình thoi ABCD có góc A = 90 độ. Kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BEF là tam giác gì? Vì sao?

Bài 3. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của góc AED.

Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy.

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.

a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh PQ // BC.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.

a) Chứng minh E và F đối xứng nhau qua AB;

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi;

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

Bài 7. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Bài 8. Hình thoi ABCD có góc A = 60 độ. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?

Bài 9. Dựng hình thoi ABCD biết cạnh bằng 2cm, một đường chéo bằng 3cm.

Bài 10. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh IK ⊥ MN .

Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ABD và ACE cắt nhau tại O và lần lượt cắt AC, BD tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

a) BN ⊥ CM ;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi.

Bài 12. Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K, H theo thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: IJ ⊥ HK

Bài 13. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh tứ giác AMND là hình thoi.

b) Gọi E là giao điểm của AN và DM; F là giao điểm của BN và MC. Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Bài 14. Cho hình thoi ABCD có AB = AC.

Kẻ AE ⊥ BC ( E ∈ BC); AF ⊥ CD (F ∈ CD).

a) Chứng minh ΔAEF đều.

b) Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.

Bài 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự tại I và K. Tia phân giác của góc EBC cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh tứ giác MINK là hình thoi.

Bài 16. Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh EFGH là hình thoi.

Bài 17. Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB theo thứ tự tại E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì?

b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?