Đạo hàm trị tuyệt đối, công thức và bài tập có đáp án

Đạo hàm trị tuyệt đối, công thức và bài tập có đáp án

I. Lý thuyết

1. Khái niệm đạo hàm

Giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x₀, khi số gia của đối số tiến dần về 0, gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) ký hiệu là y’(x₀) hoặc f’(x₀):

Trong đó:

• Số gia của đối số là: ∆x = x – x0
• Số gia của hàm số là: ∆y = y – y0

Hay các em có thể hiểu:

2. Khái niệm đạo hàm trị tuyệt đối

Ta sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = |x|.

$\underset{∆x\to \infty }{\lim }\frac{f(x+∆x)-x}{∆x}$Khi thay giá trị |x| vào, đạo hàm trị tuyệt đối của x là:

$y\text{'}=\underset{∆x\to \infty }{\lim }\frac{\left|x+∆x\right|-\left|x\right|}{∆x}$

Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí ∆x = 0, bởi vì hàm số y = |x| là hàm số không liên tục và có dạng:

Đồ thị hàm số y = |x| khi vẽ sẽ giúp các em thấy rõ hơn.

Do đó, chúng ta không thể thay trực tiếp ∆x = 0 vào (1) để tính được, mà ta cần biến đổi thành dạng khác để mẫu khác 0 khi thay ∆x = 0 vào. Các em có thể làm như sau:

II. Công thức tính nhanh đạo hàm giá trị tuyệt đối

Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, các em cần ghi nhớ một số công thức tính nhanh đạo hàm có thể kể đến như:

III. Bài tập vận dụng