Phương trình đường tròn là gì? Định nghĩa, tính chất và các dạng phương trình đường tròn

Để phương trình ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{ax}-2\mathrm{by}+\mathrm{c}=0$ là phương trình của một đường tròn, điều kiện là ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{c}>0$. Khi điều kiện này được thỏa mãn, đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính $\mathrm{R}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{c}>0}$.

4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm ngoài đường tròn

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $N(x_0;y_0)$ nằm ngoài đường tròn (C).

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$ (1)

+ Có $d(I,d)=R$ ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến song song với phương cho sẵn có hệ số góc k

Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = kx + m (m chưa biết)

kx - y + m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến (d) = R ta tìm được m

Ta luôn tìm được 2 tiếp tuyến

5. Bài tập về Phương trình đường tròn

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): $x^2+y^2-4x-4y+4=0$, biết tiếp tuyến đi qua điểm B(4; 6) .

Hướng dẫn giải:

- Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 22 + 22 - 4 = 2

- Tiếp tuyến ∆: qua B (4;6) và VTPT n(a;b) với ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2>0$

⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*)

- Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên

⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ b = 0 và 4a = -3b

- Nếu b = 0: chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0.

- Nếu 4a = -3b: chọn a = 3 thì b = -4 thay vào (*) ta được: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C):${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$ tại điểm M(2; 1) là:

A. d: -y + 1 = 0

B. d: 4x + 3y + 14 = 0

C. d: 3x – 4y – 2 = 0

D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.

Đường thẳng d: đi qua M (2;1) và VTPT IM (4;3)

⇒Phương trình (d) : 4( x – 2) + 3( y – 1) = 0 hay 4x + 3y – 11 = 0

==> Đáp án D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Bài 3: Cho đường tròn (C) có phương trình:$x^2+y^2$− 4x + 8y + 18 = 0

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1;−3)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua B (1;1)

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình 3x − 4y + 5=0

Hướng dẫn:

Các bạn hoàn toàn xác định được tâm I (2;−4) và bán kính R = $\sqrt{2}$

a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm A (1;−3) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

Các bạn thay tọa độ của điểm A (1;−3) vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm A sẽ thuộc đường tròn (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua A có dạng là:

1.x − 3y − 2(x + 1) + 4(y − 3) + 18=0

⇔ x − y − 4 = 0

b. Các bạn thay tọa độ của điểm B vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm B không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm B (1;1) với hệ số góc k là Δ: y = k (x − 1) + 1 ⇔ kx − y − k + 1 = 0

Để đường thẳng Δ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ phải bằng bán kính R.

Ta có: d(I,Δ) = R <=> k = 5 - 4 hoặc k = 5 + 4$\sqrt{3}$

+. Với k = 5 - 4 ta có phương trình tiếp của (C) là: y=k =(5 - 4$\sqrt{3}$)x − 5 + 4$\sqrt{3}$ + 1 ⇔ y = (5 - 4$\sqrt{3}$)x − 4 + 4$\sqrt{3}$

+. Với k = 5 + 4$\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: y= (5 + 4$\sqrt{3}$)x − 5 − 4$\sqrt{3}$ + 1 ⇔ y = (5 - 4$\sqrt{3}$)x − 4 - 4$\sqrt{3}$

c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.

Cho hai đường thẳng d1;d2 lần lượt có hệ số góc là: k1;k2

+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: k1=k2

+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng −1, tức là: k1 . k2 = −1

Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$.

Gọi phương trình tiếp tuyến là Δ có dạng: y = $-\frac{4}{3}$x + m ⇔ 4x + 3y − 3m = 0

Vì đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

d(I,Δ) = R

⇔ m = $\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ hoặc m =$\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$

Với m=$\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: y =$\frac{-4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$

Với m=$\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: y =$\frac{-4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$