Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Khối tròn xoay là gì? Thể tích khối tròn xoay

    Vietjack.me giới thiệu bài viết Khối tròn xoay là gì? Thể tích khối tròn xoay bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 446 10/10/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Khối tròn xoay là gì? Thể tích khối tròn xoay

    1. Khối tròn xoay là gì?

    Khối tròn xoay là một khối hình ba chiều được tạo ra khi một hình phẳng (mặt phẳng) quay xung quanh một đường thẳng cố định (trục quay) nằm trên cùng mặt phẳng đó. Ví dụ phổ biến bao gồm khối nón tròn xoay (từ tam giác vuông), khối trụ tròn xoay (từ hình chữ nhật), và khối cầu tròn xoay (từ nửa hình tròn).

    2. Cách tạo ra khối tròn xoay

    • Chọn một hình phẳng: Đây là hình hai chiều ban đầu, có thể là một đường cong, một đa giác, hoặc một vùng mặt phẳng.

    • Chọn một trục quay: Đó là một đường thẳng trong cùng mặt phẳng với hình phẳng đó.

    • Quay hình phẳng quanh trục: Khi hình phẳng đó quay quanh trục cố định, nó sẽ tạo ra một khối hình ba chiều, được gọi là khối tròn xoay.

    Ví dụ:

    • Khối nón tròn xoay: Tạo ra khi quay một tam giác vuông xung quanh một trong hai cạnh góc vuông của nó.

    • Khối trụ tròn xoay: Tạo ra khi quay một hình chữ nhật xung quanh một cạnh của nó.

    • Khối cầu tròn xoay: Tạo ra khi quay một nửa hình tròn xung quanh đường kính của nó (trục quay).

    3. Công thức tính thể tích của khối tròn xoay

    Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

    Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

    Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ∈ [a; b] được một hình tròn có bán kính f(x).

    Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

    Thể tích của khối tròn xoay này là: V = π∫abf2xdx.

    4. Ví dụ minh họa tính thể tích khối tròn xoay

    Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, hai đường thẳng x = 0, x=π4 quay quanh trục hoành?

    Lời giải

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

    V = π∫0π4sin2xdx = π2∫0π41−cos2xdx

    = π2x−12sin2x0π4 = π2π4−12.1 = ππ−28.

    Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

    Lời giải

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

    V = π∫12x22dx=π∫12x4dx = πx5512=π325−15=31π5.

    5. Bài tập tự luyện tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

    Bài 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x−2, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4 quay quanh trục Ox.

    Bài 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 4x – x2, y = 0, x = 0, x = 4.

    Bài 3. Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4−x2, trục hoành và hai đường thẳng x = – 2, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quanh (S) quanh trục Ox.

    Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

    a) y = 3 – x2, y = 0;

    b) y = sin x, y = 0, x = 0, x = π;

    c) y = cot x, y = 0, x = 0, x = π4.

    Bài 5. Giả sử một bình hoa bằng gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số y = 0,055x2 + 0,085x + 4 (0 ≤ x ≤ 25) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoành thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1,5 cm.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 446 10/10/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: