Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách chứng minh tam giác đều

Cách chứng minh tam giác đều

1. Phương pháp giải

a) Nhận biết và chứng minh tam giác cân

Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau. Khi đó tam giác đó cân tại giao điểm của hai cạnh đó;

Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau. Khi đó tam giác đó cân tại đỉnh còn lại.

Lưu ý: Khi chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chỉ rõ tam giác đó cân tại đỉnh nào. Ví dụ ∆ABC cân tại A, ∆MNP cân tại N,...

b) Nhận biết và chứng minh tam giác đều

Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta sử dụng một trong bốn cách sau:

Cách 1: Chứng tỏ tam giác đó có ba cạnh bằng nhau;

Cách 2: Chứng tỏ tam giác đó có ba góc bằng nhau;

Cách 3: Chứng tỏ tam giác đó có hai góc bằng 60°;

Cách 4: Chứng tỏ tam giác đó là tam giác cân và có một góc bằng 60°.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hình vẽ bên.

Hỏi tam giác nào là tam giác cân, tam giác nào là tam giác đều?

Hướng dẫn giải:

+ Xét ∆ABC, có: AB = BC = 2 cm.

Do đó ∆ABC cân tại B.

+ Xét ∆DEF, có: $\widehat{\mathrm{DEF}}=\widehat{\mathrm{DFE}}=60°$.

Do đó ∆DEF là tam giác đều.

+ Xét ∆MNP, có: MN = MP và $\widehat{\mathrm{MNP}}=60°$

Do đó ∆MNP là tam giác đều.

+ ∆XYZ vuông tại X: $\hat{Y}+\hat{Z}=90°$.

Suy ra $\hat{Y}=90°-\hat{Z}=90°-45°=45°$

Do đó $\hat{Y}=\hat{Z}=45°$.

Suy ra ∆XYZ cân tại X.

(Vì ∆XYZ cân tại X và có $\hat{X}=90°$, do đó ta gọi ∆XYZ là tam giác vuông cân tại X).

Vậy ở hình bên, ta có:

- Các tam giác cân là: ∆ABC (cân tại B) và ∆XYZ (vuông cân tại X).

- Các tam giác đều là: ∆DEF và ∆MNP.

Ví dụ 2. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều ACD, BCE. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng ∆CIK là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Ta có ∆ACD đều. Suy ra $\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$ (1).

Ta có ∆BCE đều. Suy ra $\widehat{\mathrm{ECB}}=60°$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{\mathrm{ACD}}=\widehat{\mathrm{ECB}}$.

Do đó $\widehat{\mathrm{ACD}}+\widehat{\mathrm{DCE}}=\widehat{\mathrm{ECB}}+\widehat{\mathrm{DCE}}$

Khi đó ta có $\widehat{\mathrm{ACE}}=\widehat{\mathrm{DCB}}$

Xét ∆ACE và ∆DCB, có:

AC = DC (∆ACD đều).

$\widehat{\mathrm{ACE}}=\widehat{\mathrm{DCB}}$ (chứng minh trên).

CE = CB (∆BCE đều).

Do đó ∆ACE = ∆DCB (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat{\mathrm{CAE}}=\widehat{\mathrm{CDB}}$ và AE = DB (cặp góc và cặp cạnh tương ứng).

Vì I là trung điểm AE nên ta có AE = 2AI.

Vì K là trung điểm DB nên ta có DB = 2DK.

Mà AE = DB (chứng minh trên).

Do đó 2AI = 2DK.

Suy ra AI = DK.

Xét ∆ACI và ∆DCK, có:

AC = DC (∆ACD đều).

$\widehat{\mathrm{CAE}}=\widehat{\mathrm{CDB}}$ (chứng minh trên).

AI = DK (chứng minh trên).

Do đó ∆ACI = ∆DCK (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra CI = CK.

Do đó ∆CIK cân tại C (*).

Ta có $\widehat{\mathrm{ACI}}=\widehat{\mathrm{DCK}}$ (vì ∆ACI = ∆DCK).

Do đó $\widehat{\mathrm{ACD}}+\widehat{\mathrm{DCI}}=\widehat{\mathrm{DCI}}+\widehat{\mathrm{ICK}}$

Ta suy ra $\widehat{\mathrm{ACD}}=\widehat{\mathrm{ICK}}$.

Mà $\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$(∆ACD đều).

Do đó $\widehat{\mathrm{ICK}}=\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$ (**).

Từ (*), (**), ta suy ra ∆CIK là tam giác đều.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình vẽ bên.

Hình bên có bao nhiêu tam giác cân?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 2. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau.

A. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau;

B. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó hai góc bằng nhau;

C. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có một góc bằng 60°;

D. Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Bài 3. Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. ∆AMN cân tại A;

B. ∆AMN cân tại M;

C. ∆AMN cân tại N;

D. ∆AMN cân tại B.

Bài 4. Cho hình bên.

Chọn đáp án đúng.

A. ∆OPM và ∆ONQ là các tam giác đều;

B. ∆OMN là tam giác đều;

C. ∆OPM và ∆ONQ là các tam giác cân;

D. Cả hai đáp án B, C đều đúng.

Bài 5. Cho $\widehat{\mathrm{xOy}}=120°$. Lấy điểm A thuộc tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$. Kẻ AB ⊥ Ox tại B, AC ⊥ Oy tại C. Hỏi ∆ABC là tam giác gì?

A. ∆ABC là tam giác cân tại A;

B. ∆ABC là tam giác cân tại B;

C. ∆ABC là tam giác là cân tại C;

D. ∆ABC là tam giác đều.

Bài 6. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc canh AB sa cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Hỏi ∆IBC là tam giác gì?

A. ∆IBC là tam giác cân tại I;

B. ∆IBC là tam giác cân tại B;

C. ∆IBC là tam giác cân tại C;

D. ∆IBC là tam giác đều.

Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của $\hat{A}$ cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc BC, cắt AC tại E. Trên AB lấy điểm F sao cho AF = AE. Hỏi ∆DBF là tam giác gì?

A. ∆DBF cân tại B;

B. ∆DBF cân tại F;

C. ∆DBF cân tại D;

D. ∆DBF đều.

Bài 8. Cho hình vẽ.

Tam giác cân trong hình vẽ bên là:

A. ∆ACD;

B. ∆ABD;

C. ∆BCD;

D. Hình vẽ bên không có tam giác nào cân.

Bài 9. Cho hình vẽ.

Tam giác đều trong hình vẽ bên là:

A. ∆MNP;

B. ∆PNH;

C. ∆MPH;

D. ∆MNH.

Bài 10. Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF. Hỏi ∆DEF là tam giác gì?

A. ∆DEF đều;

B. ∆DEF là tam giác vuông tại D;

C. ∆DEF là tam giác vuông cân tại F;

D. ∆DEF là tam giác vuông tại E.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác

• Nhận biết và chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng