Lý thuyết, cách xác định và bài tập các dấu hiệu nhận biết hình thang

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

A. Phương pháp giải.

Có hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

• Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hình thang ABCD (AB//CD) có . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân

Giải

Vì ABCD là hình thang nên AB//CD , kết hợp giả thiết, ta có:

(Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) thu được OA + OC = OB + OD ⇒ AC = BD.

Điều này chứng tỏ hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Cắt hai cạnh của tam giác ABC bởi một cát tuyến song song với cạnh đáy BC thì tứ giác thu được là hình gì?

Giải

Gọi giao điểm của cát tuyến với các cạnh AB, AC lần lượt là M, N.

Tứ giác MNCB có hai cạnh đối MN//BC nên là hình thang.

Mặt khác vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: .

Do đó hình thang MNCB có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác BE, CF của các góc B và C.

a) Chứng minh tam giác AEF cân.

b) Chứng minh tam giác BFC và CEB bằng nhau.

c) Chứng minh BFEC là hình thang cân.

Giải

a) Ta có

(t/c phân giác)

Mà (tam giác ABC cân tại A)

Xét tam giác ABE và ACF ta có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

b) Xét tam giác BFC và CEB ta có:

c) Ta có

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF//BC .

Tứ giác BCEF có EF//BC nên BCEF là hình thang.

Lại có (tam giác ABC cân tại A)

Vậy BCEF là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

C. Bài tập vận dụng.

Câu 1. Cho tam giác AMN cân tại A. Các điểm B, C lần lượt trên các cạnh AM, AN sao cho AB = AC. Hãy chọn câu đúng.

A. MB = NC.

B. BCNM là hình thang cân.

C.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Xét ΔBAC có: BA = CA (gt) nên ΔBAC là tam giác cân.

Suy ra: nên C đúng.

Vì ΔAMN cân tại A ⇒ AM=AN mà AB = AC nên

do đó A đúng.

Lại có: (do ΔAMN cân tại A).

Từ (1) và (2) suy ra:

Mà hai góc là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra BC//MN .

Tứ giác BCNM có: BC//MN (cmt) nên là hình thang.

Hình thang BCNM có: (tam giác AMN cân tại A) là hai góc kề một đáy nên là hình thang cân. Do đó B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Đáp án: D.

Câu 2. Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ các đường trung tuyến NQ, PS. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NSQP là hình thang cân.

B. MSQ là tam giác cân tại S.

C. MSQ là tam giác cân tại Q.

D. NQ ≠ SP.

Lời giải:

Đặt . Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào tam giác cân MNP, ta được:

nên tam giác MSQ cân tại M. Do đó B, C sai.

Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác MNP và MSQ, ta được:

(vì hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Tứ giác NSQP có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hình thang NSQP này lại có hai góc kề với một đáy bằng nhau là nên là hình thang cân. Suy ra NQ = SP (tính chất hình thang cân). Do đó A đúng, D sai.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔBAC cân tại A. Kẻ các đường cao BD, CE. Tứ giác BEDC là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình thang vuông.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Đặt . Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ΔBAD và ΔEAC ta được:

(cạnh huyền, góc nhọn).

Suy ra AD = AE nên tam giác AED cân tại A.

Áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác cân ABC và AED, ta được:

(hai góc ở vị trí đồng vị)

Tứ giác BEDC có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hình thang BEDC này lại có hai góc kề với một đáy bằng nhau là nên là hình thang cân.

Đáp án: B

Câu 4. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I, biết rằng AI = IC, IB = ID. Tứ giác ACBD là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình thang vuông.

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Do hai góc là hai góc đối đỉnh nên đặt .

Từ giả thiết và hai tam giác IAC, IBD đều cân tại I, áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác cân IAC và IBD, ta được:

vì có cặp góc so le trong bằng nhau.

Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hình thang ABCD này lại có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.

Đáp án: B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 khác:

• Cách nhận biết hình thang, hình thang vuông (hay, chi tiết)
• Cách tính số đo góc trong hình thang (hay, chi tiết)