Các bài toán tính nhanh phân số lớp 4,5 và cách giải (2024)

Các bài toán tính nhanh phân số lớp 4,5

I. Các dạng toán tính nhanh phân số

Dạng 1: Nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp phân số liền trước 2 lần.

Tính nhanh giá trị biểu thức: A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

Cách 1:

Bước 1: Đặt A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

Bước 2: Ta thấy:

1/2 = 1 - 1/2

1/4 = 1/2 - 1/4

1/8 = 1/4 - 1/8

Bước 3: Vậy A = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/4) + (1/4 - 1/8) + … + (1/32 - 1/64)

A = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/8 + … + 1/32 - 1/64

A = 1 - 1/64

A = 64/64 - 1/64

A = 63/64

Đáp số: 63/64

Cách 2:

Bước 1: Đặt A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

Bước 2: Ta thấy:

1/2 = 1 - 1/2

1/2 + 1/4 = 3/4 = 1 - 1/4

1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 = 1 - 1/8

Bước 3: Vậy A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 1 - 1/64 = 64/64 - 1/64 = 63/64

Dạng 2: Nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp phân số liền trước n lần (n > 1).

Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức: A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

Cách giải:

Bước 1: Tính A x n ( n = 2).

Ta có: A x 2 = 2 x (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) = 2/2 + 2/4 + 2/8 + 2/16 + 2/32 + 2/64 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32

Bước 2: Tính A x n – A = A x (n - 1)

A x 2 – A = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32) - (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64)

A x ( 2 - 1) – A = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64

A = 1 - 1/64

A = 64/64 - 1/64

A = 63/64

Bài 2. Tính nhanh giá trị biểu thức: B = 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/162 + 5/486.

Bước 1. Tính B x n (n = 3)

B x 3 = 3 x (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 + 5/486)

B = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162

Bước 2. Tính B x n - B

B x 3 - B = (15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162) - (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/162 + 5/486)

B x (3 - 1) = B x 2 = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/54 + 5/162 - 5/2 - 5/6 - 5/18 - 5/54 - 5/162 - 5/486

B x 2 = 15/2 - 5/486

B x 2 = (3645 - 5)/ 486 = 3640/486

B = 3640/486 : 2

B = 1820/486

B = 910/243

Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số

Phân số ở trường hợp này có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số liền sau.

Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức sau:

A = 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + 1/ ( 4 x 5) + 1/ ( 5 x 6)

A = (3 - 2)/ (2 x 3) + (4 - 3)/ (3 x 4) + (5 - 4)/ (4 x 50 + (6 - 5)/ (5 x 6)

A = 3/ (2 x 3) - 2/ (2 x 3) + 4/ (3 x 4) - 3/ (3 x 4) + 5/ (4 x 5) - 4/ (4 x 5) + 6/ (5 x 6) - 5/ (5 x 6)

A = 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6

A = 1/2 - 1/6

A = 3/6 - 1/6

A = 2/6

A = 1/3

Bài 2. Tính nhanh giá trị biểu thức sau:

B = 3 / (2 x 5) + 3 / (5 x 8) + 3 / (8 x 11) + 3 / (11 x 14)

B = (5 - 2) / (2 x 5) + (8 - 5) / (5 x 8) + (11 - 8) / (8 x 11) + (14 - 11) / (11 x 14)

B = 5 / (2 x 5) - 2 / (2 x 5) + 8 / (5 x 8) - 5 / (5 x 8) + 11 / (8 x 11) - 8 / (8 x 11) + 14 / (11 x 14) - 11 / (11 x 14)

B = 1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/8 + 1/8 - 1/11 + 1/11 - 1/14

B = 1/2 - 1/14

B = 7/14 - 1/14

B = 6/14

B = 3/7

Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích

Trong trường hợp này mẫu số là tích của 3 thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.

Tính nhanh giá trị phân số:

A = 4 / (1 x 3 x 5) + 4 / (3 x 4 x 7) + 4 / (5 x 7 x 9) + 4 / (7 x 9 x 11) + 4 / (9 x 11 x 13)

A = (5 - 1) / (1 x 3 x 5) + (7 - 3) / (3 x 5 x 7) + (9 - 5) / (5 x 7 x 9) + (11 - 7) / (7x 9x 11) + (13 - 9) / (9 x 11 x 13)

A = 5 / (1 x 3 x 5) - 1 / (1 x 3 x 5) + 7 / (3 x 5 x 7) - 3 / (3 x 5 x 7) + 9 / (5 x 7 x 9) - 5 / (5 x 7 x 9) + 11 / (7 x 9 x 11) - 7 / (7 x 9 x 11) + 13 / (9 x 11 x 13) - 9 / (9 x 11 x 13)

A = 1 / (1 x 3) - 1 / (3 x 5) - 1 / (3 x 7) + 1 / (5 x 7) - 1 / (7 x 9) + 1 / (7 x 9) - 1 / (9 x 11) + 1 / (9 x 11) + 1 / (11 x 13)

A = 1 / (1 x 3) - 1 / (11 x 13)

A = (11 x 13 - 3) / (3 x 11 x 13)

A = (143 - 3) / 429

A = 140/429

Dạng 5: Tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ với tỉ số với mẫu số của phân số kia

Bài 1. Tính nhanh giá trị phân số sau:

A = 1991/1990 x 1992/1991 x 1993/1992 x 1994/1993 x 995/997

A = (1991/1990 x 1992/1991) x (1993/1992 x 199/1993) x 995/997

A = (1992/1990 x 1994/1992) x 995/997

A = 1994 / 1990 x 995 / 997

A = 997 / 995 x 995 / 997

A = 1

Bài 2. Tính nhanh giá trị phân số sau:

B = 2000/2001 x 2002/2003 x 2001/2002 x 2003/2004 x 2006/2000

B = (2000/2001 x 2001/2002) x (2002/2003 x 2003/2004) x 2006/2000

B = 2000/2002 x 2002/2004 x 2006/2000

B = 2000/2004 x 2006/2000

B = 2006 / 2004

B = 1003 / 1002

Bài 3. Tính nhanh giá trị phân số sau:

C = 328/435 x 468/432 x 435/164 x 432/984 x 164/468

C = (328/435 x 435/164) x (468/432 x 432/984) x 164/468

C = 328/164 x 468/984 x 164/468

C = (328/164 x 164/468) x 468/984

C = 328/468 x 468/984

C = 328/984

C = 1/3

Dạng 6: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số

Bài 1. Tính nhanh phân số sau:

A = 37/53 x 23/48 x 535353/373737 x 242424/232323

A = 37/53 x 23/48 x (53 x 10101) / (37 x 10101) x (24 x 10101) / (23 x 10101)

A = 37/53 x 23/48 x 53/37 x 24/23

A = (37/53 x 53/37) x (23/48 x 24/23)

A = 1 x 24/48

A = 24/48

A = 1/2

Bài 2. Tính nhanh phân số sau:

B = (2003 x 1999 - 2003 x 999) / (2004 x 999 + 1004)

B = [2003 x (1999 - 999)] / [(2003 + 1) x 999 + 1004]

B = (2003 x 1000) / [2003 x 999 + (999 + 10004)]

B = (2003 x 1000) / (2003 x 999 + 2003)

B = (2003 x 1000) / (2003 x 1000)

B = 1 (vì tử số bằng mẫu số)

II. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

$\frac{5}{9}+\frac{13}{7}+\frac{15}{13}+\frac{8}{7}+\frac{4}{9}+\frac{11}{13}$

Câu 2:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

$\frac{3\times 15\times 8}{12\times 6\times 5}$

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thuận tiện nhất:

$A=\frac{3}{200}+\frac{8}{200}+\frac{13}{200}+\frac{18}{200}+...+\frac{193}{200}+\frac{198}{200}$

Câu 4:

Tính nhanh:

$A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{6}\right)\times \left(1-\frac{1}{7}\right)\times \left(1-\frac{1}{8}\right)$

Câu 5:

Tính nhanh:

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times \left(1+\frac{1}{4}\right)\times \left(1+\frac{1}{5}\right)\times \left(1+\frac{1}{6}\right)$

Câu 6:

Tính nhanh:

$\frac{137}{512}\times \frac{327}{213}\times \frac{512}{57}\times \frac{213}{685}\times \frac{57}{327}$

Câu 7:

Tính nhanh:

$\frac{2323}{1818}\times \frac{727272}{696969}$

Câu 8:

Tính nhanh:

$\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{3}{7}\right)\times \left(1-\frac{3}{10}\right)\times \left(1-\frac{3}{13}\right)\times \left(1-\frac{3}{16}\right)$

Câu 9:

Tính nhanh:

$\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times ...\times \left(1+\frac{1}{2020}\right)$

Câu 10:

Tính nhanh:

$A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times ...\times \left(1-\frac{1}{99}\right)+\left(1-\frac{4}{7}\right)\times \left(1-\frac{4}{11}\right)\times \left(1-\frac{4}{15}\right)\times ...\times \left(1-\frac{4}{99}\right)$

Lời giải

Câu 1:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

$\frac{5}{9}+\frac{13}{7}+\frac{15}{13}+\frac{8}{7}+\frac{4}{9}+\frac{11}{13}$

Bài giải

$\frac{5}{9}+\frac{13}{7}+\frac{15}{13}+\frac{8}{7}+\frac{4}{9}+\frac{11}{13}$

$=\left(\frac{5}{9}+\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{13}{7}+\frac{8}{7}\right)+\left(\frac{15}{13}+\frac{11}{13}\right)=1+3+2=6$

Câu 2:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

$\frac{3\times 15\times 8}{12\times 6\times 5}$

Bài giải

$\frac{3\times 15\times 8}{12\times 6\times 5}=\frac{3\times 3\times 5\times 4\times 2}{3\times 4\times 2\times 3\times 5}=1$

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thuận tiện nhất:

$A=\frac{3}{200}+\frac{8}{200}+\frac{13}{200}+\frac{18}{200}+...+\frac{193}{200}+\frac{198}{200}$

Bài giải

$A=\frac{3}{200}+\frac{8}{200}+\frac{13}{200}+\frac{18}{200}+...+\frac{193}{200}+\frac{198}{200}=\frac{3+8+13+18+...+193+198}{200}$

Dãy số 3; 8; 13; …. ; 198 có số số hạng là:

(198 – 3) : 5 + 1 = 40 (số hạng)

Tổng dãy số 3; 8; 13; … ; 198 là:

(198 + 3) x 40 : 2 = 4020

$\Rightarrow A=\frac{4020}{200}=\frac{201}{10}$

Câu 4:

Tính nhanh:

$A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{6}\right)\times \left(1-\frac{1}{7}\right)\times \left(1-\frac{1}{8}\right)$

Bài giải

$A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \left(1-\frac{1}{6}\right)\times \left(1-\frac{1}{7}\right)\times \left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{6}{7}\times \frac{7}{8}=\frac{1}{8}$

Câu 5:

Tính nhanh:

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times \left(1+\frac{1}{4}\right)\times \left(1+\frac{1}{5}\right)\times \left(1+\frac{1}{6}\right)$

Bài giải

$A=\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times \left(1+\frac{1}{4}\right)\times \left(1+\frac{1}{5}\right)\times \left(1+\frac{1}{6}\right)=\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}$

Câu 6:

Tính nhanh:

$\frac{137}{512}\times \frac{327}{213}\times \frac{512}{57}\times \frac{213}{685}\times \frac{57}{327}$

Bài giải

$\frac{137}{512}\times \frac{327}{213}\times \frac{512}{57}\times \frac{213}{685}\times \frac{57}{327}=\frac{137\times 327\times 512\times 213\times 57}{512\times 213\times 57\times 685\times 327}=\frac{137}{685}=\frac{137}{137\times 5}=\frac{1}{5}$

Câu 7:

Tính nhanh:

$\frac{2323}{1818}\times \frac{727272}{696969}$

Bài giải

$\frac{2323}{1818}\times \frac{727272}{696969}=\frac{23\times 101}{18\times 101}\times \frac{72\times 10101}{69\times 10101}=\frac{23}{18}\times \frac{72}{69}=\frac{23\times 72}{18\times 69}=\frac{23\times 18\times 4}{18\times 23\times 3}=\frac{4}{3}$

Câu 8:

Tính nhanh:

$\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{3}{7}\right)\times \left(1-\frac{3}{10}\right)\times \left(1-\frac{3}{13}\right)\times \left(1-\frac{3}{16}\right)$

Bài giải

$\left(1-\frac{3}{4}\right)\times \left(1-\frac{3}{7}\right)\times \left(1-\frac{3}{10}\right)\times \left(1-\frac{3}{13}\right)\times \left(1-\frac{3}{16}\right)=\frac{1}{4}\times \frac{4}{7}\times \frac{7}{10}\times \frac{10}{13}\times \frac{13}{16}=\frac{1}{16}$

Câu 9:

Tính nhanh:

$\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times ...\times \left(1+\frac{1}{2020}\right)$

Bài giải

$\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times \left(1+\frac{1}{4}\right)\times ...\times \left(1+\frac{1}{2020}\right)=\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times ...\times \frac{2021}{2020}=\frac{2021}{2}$

Câu 10:

Tính nhanh:

$A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times ...\times \left(1-\frac{1}{99}\right)+\left(1-\frac{4}{7}\right)\times \left(1-\frac{4}{11}\right)\times \left(1-\frac{4}{15}\right)\times ...\times \left(1-\frac{4}{99}\right)$

Bài giải

$\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times ...\times \left(1-\frac{1}{99}\right)$

= $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times ...\times \frac{98}{99}$ =$\frac{1}{99}$

$\left(1-\frac{4}{7}\right)\times \left(1-\frac{4}{11}\right)\times \left(1-\frac{4}{15}\right)\times ...\times \left(1-\frac{4}{99}\right)$

$=\frac{3}{7}\times \frac{7}{11}\times \frac{11}{15}\times ...\times \frac{95}{99}=\frac{3}{99}=\frac{1}{33}$

$A=\frac{1}{99}+\frac{1}{33}=\frac{4}{99}$