Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Với tài liệu về Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 161 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    I. Lý thuyết

    Chương trình phổ thông ta thường gặp dạng bài này đối với hàm số đa thức bậc 1 trên bậc 1, ta sẽ áp dụng chú ý sau:

    - Hàm số f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d},\left( ad-bc\ne 0,c\ne 0 \right) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad-bc<0

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1 nghịch biến trên khoảng \left( 0,+\infty \right)

    Hướng dẫn giải

    Ta có: y'=-3{{x}^{2}}+6x+3m

    Hàm số nghịch biến trên \left( 0,+\infty \right)\Leftrightarrow y'\le 0 với mọi x\in \left( 0,+\infty \right)

    \Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0,+\infty \right)\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x,\forall x\in \left( 0,+\infty \right)

    Xét f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x với x\in \left( 0,+\infty \right) f'\left( x \right)=2x-2,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1

    Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả m\le -1

    Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = \frac{{{m^2}x + 6x - 2}}{{x + 2}} nghịch biến trên nửa khoảng \left[ {1; + \infty } \right)

    Giải:

    Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng \left[ {1; + \infty } \right)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow y' = \dfrac{{m{x^2} + 4mx + 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \leqslant 0,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 14 \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4x} \right) \leqslant - 14,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow u\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} \geqslant m,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {Minu\left( x \right)}\limits_{x \geqslant 1} \geqslant m \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có

    u'\left( x \right) = \frac{{14\left( {2x + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \geqslant 1

    => u(x) đồng biến trên nửa khoảng \left[ {1; + \infty } \right)

    \Rightarrow \mathop {\min u\left( x \right)}\limits_{x \geqslant 1} = u\left( 1 \right) = \frac{{ - 14}}{5} \geqslant m

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2

    Lời giải

    Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x + m.

    Xét phương trình y’ = 0 hay 3x2 + 6x + m = 0 (*)

    Để hàm số nghịch biển trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 và |x1 – x2| = 2

    Theo hệ thức Vi-ét ta có

    Giải |x1 – x2| = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4

    ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1․x2 = 4 ⇔ m = 0

    Vậy m = 0

    Bài 2: Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng .

    Lời giải

    Xét hàm số , ta có

    Để hàm số nghịch biến thì:

    Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng nên:

    Theo định lí Vi-et-ta có:

    ,

    Đối chiếu với điều kiện (*), ta kết luận: Không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.

    Bài 3: Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3(m – 1) x2 + 6(m – 2) x + 3 nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3.

    Lời giải

    Tập xác định D = ℝ.

    Ta có đạo hàm y’ = 6x2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2)

    Xét phương trình y’ = 0 hay 6x2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2) = 0

    Hàm số nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho|x1 – x2| > 3 (1)

    Tương đương với:

    Bài 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = \frac{{x + 6}}{{x + 5m}} nghịch biến trên khoảng (10; +∞)

    Giải:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5m} \right\}

    Ta có: y' = \frac{{5m - 6}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (10; +∞) khi và chỉ khi

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' < 0,\forall x \in D} \\ { - 5m \in \left( {10, + \infty } \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5m - 6 < 0} \\ { - 5m \leqslant 10} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \dfrac{6}{5}} \\ {m \geqslant - 2} \end{array}} \right.Mà m là giá trị nguyên => m ∈ {-2; -1; 0; 1}

    Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn

    Bài 5: Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 6x2+ (4m – 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) là:

    Giải:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    Ta có: y’ = -3x2 – 12x + 4m + 9

    Hàm số y = x3 – 6x2+ (4m – 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) khi và chỉ khi

    y’ = -3x2 – 12x + 4m + 9 ≤ 0, ∀x ∈ (-∞; -1)

    => 4m ≤ 3x2 + 12x + 9, ∀x ∈ (-∞; -1)

    Xét hàm số g(x) = 3x2 + 12x + 9, x ∈ (-∞; -1) ta có:

    g’(x) = 6x + 12

    g’(x) = 0 => x = -2

    Ta có bảng biến thiên:

    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Từ bảng biến thiên suy ra 4m ≤ -3 => m ≤ -3/4

    Bài 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = \frac{{x + 1}}{{x + 3m}} nghịch biến trên khoảng (6; +∞)

    Giải

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3m} \right\}

    Ta có: y' = \frac{{3m - 1}}{{{{\left( {x + 3m} \right)}^2}}}

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng (6; +∞) ta có:

    y’ < 0 ∀x ∈ (-∞; -6)

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' < 0} \\ {\left( {6; + \infty } \right) \subset D} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3m - 1 < 0} \\ { - 3m \leqslant - 6} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \frac{1}{3}} \\ {m \geqslant - 2} \end{array} \Leftrightarrow } \right. - 2 \leqslant m \leqslant \frac{1}{3}

    Vì m là số nguyên

    => m∈{-2; -1; 0}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn điều kiện đề bài

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 161 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: