Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình có nghiệm

I. Lý thuyết

1. Phương Trình Bậc Hai

Để một phương trình bậc hai $𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐=0$ có nghiệm, hệ số $𝑎$ phải khác 0 và biệt thức $\mathrm{\Delta }={𝑏}^2-4𝑎𝑐$ cần thỏa mãn các điều kiện sau:

Nếu $\mathrm{\Delta }>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Nếu $\mathrm{\Delta }=0$, phương trình có nghiệm kép.

Nếu $\mathrm{\Delta }<0$, phương trình không có nghiệm thực.

2. Phương Trình Bậc Ba

Phương trình bậc ba ${𝑥}^3+𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐=0$ có nghiệm khi hệ số của ${𝑥}^3$ khác 0. Các bước để xác định nghiệm bao gồm:

Tính ${\mathrm{\Delta }}_1={𝑏}^2-3𝑎𝑐$ và ${\mathrm{\Delta }}_2=2{𝑏}^3-9𝑎𝑏𝑐+27{𝑎}^2𝑑$.

Xác định $𝜖=({\mathrm{\Delta }}_2{)}^2-4({\mathrm{\Delta }}_1{)}^3$.

Phân tích theo $𝜖$:

Nếu $𝜖>0$, một nghiệm thực và hai nghiệm phức.

Nếu $𝜖=0$, ba nghiệm thực, có thể trùng nhau.

Nếu $𝜖<0$, ba nghiệm thực.

3. Các Phương Trình Lượng Giác

Phương trình $\sin 𝑥=𝑚$ có nghiệm khi $\left|𝑚\right|\le 1$. Tương tự, phương trình $\cos 𝑥=𝑚$ và $\tan 𝑥=𝑚$ cũng có điều kiện tương ứng về giá trị của $𝑚$ để có nghiệm.

• Phương trình $\sin 𝑥=𝑎$:
  1. Điều kiện: $|𝑎|\le 1$
  2. Nghiệm: $𝑥={\sin }^{-1}(𝑎)+𝑘2𝜋$ hoặc $𝑥=𝜋-{\sin }^{-1}(𝑎)+𝑘2𝜋$, $𝑘\in \mathbb{𝑍}$
• Phương trình $\cos 𝑥=𝑎$:
  1. Điều kiện: $|𝑎|\le 1$
  2. Nghiệm: $𝑥={\cos }^{-1}(𝑎)+𝑘2𝜋$ hoặc $𝑥=-{\cos }^{-1}(𝑎)+𝑘2𝜋$, $𝑘\in \mathbb{𝑍}$
• Phương trình $\tan 𝑥=𝑎$:
  1. Điều kiện: Không có giới hạn đặc biệt cho $𝑎$
  2. Nghiệm: $𝑥={\tan }^{-1}(𝑎)+𝑘𝜋$, $𝑘\in \mathbb{𝑍}$
• Phương trình $\cot 𝑥=𝑎$:
  1. Điều kiện: $𝑥\ne 𝑘𝜋$, $𝑘\in \mathbb{𝑍}$ (do $\cot 𝑥$ không xác định tại các điểm này)
  2. Nghiệm: $𝑥={\cot }^{-1}(𝑎)+𝑘𝜋$, $𝑘\in \mathbb{𝑍}$

Việc áp dụng đúng các điều kiện và công thức nghiệm sẽ giúp

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình: x² - (2m - 1)x + m² - 1 = 0 (x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình đã cho thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂

Giải

a) Δ = (2m - 1)² - 4.(m² - 1)= 4m² - 4m + 1 - 4m² + 4 = 5- 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m <

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤

Kết hợp với điều kiện (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m = 1 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - 10mx + 9m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa điều kiện x₁ - 9x₂ = 0.

Giải

a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x² - 10x + 9 = 0.

Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

b) Δ' = (-5m)² - 1.9m = 25m² - 9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ 25m² - 9m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình:

Thay vào phương trình (**) ta có:

Với m = 0 ta có Δ' = 25m² - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m = 1 ta có Δ' = 25m² - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa điều kiện x₁-9x₂ = 0

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Giải

a) Ta có: Δ = [-2(m - 1)]² - 4.1.(2m - 5) = 4m² - 12m + 22

= (2m)² - 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)² + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có: x₁ < 1 < x₂ ⇒ ⇒(x₁ - 1)(x₂ - 1) < 0⇒x₁ x₂ - (x₁+x₂)+1 < 0 (II)

Thay (I) vào (II) ta có: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m).

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Bài 2: Cho phương trình x² - (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn

Giải

Phương trình x² - (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x² - 2(m + 1)x + 2m = 0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x₁, x₂ là

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài 3: Cho phương trình x² + 2x - m² - 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x₁ = -3x₂

Giải:

Ta có: Δ' = 1² - 1.(-m² - 1)=1 + m² + 1 = m² + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét ta có:

Ta có: x₁ + x₂ = -2 (do trên) và x₁ = -3x₂ nên có hệ phương trình sau:

Thay (*) vào biểu thức x₁.x₂ = -m² - 1 ta được:

Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m² + m - 1 = 0 (m là tham số)

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Tính tích của các giá trị đó

Giải:

Δ' = (m + 1)² - (m² + m - 1) = m² + 2m + 1 - m² - m + 1 = m + 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó:

Kết hợp với điều kiện m > -2 là các giá trị cần tìm.

Bài 5: Cho phương trình (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn

Giải:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Phương trình có nghiệm khác 0

Kết hợp với điều kiện ta có

Vậy là các giá trị cần tìm.

Bài 6: Cho phương trình (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

Bài 7: Cho phương trình x² - 2x - 2m² = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x₁² = 4x₂².

Bài 8: Cho phương trình x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ - x₂| = 3.

Bài 9: Cho phương trình bậc hai x² + 2(m - 1)x - (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1.