Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác

I. Lý thuyết

1. Công thức lượng giác cơ bản

$$\begin{gathered} 1. \tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} \\ 2.cot\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} \\ 3. {\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1 \\ 4. \tan \left(x\right).cot\left(x\right)=1 (x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2}, k\in Z) \\ 5. 1+{\tan }^2\left(x\right)= \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} (x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \\ 6. 1+{\cot }^2\left(\mathrm{x}\right)= \frac{1}{{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)} (\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \end{gathered}$$

Thơ nhớ hàm lượng giác cơ bản

Sin bình cộng cos bình thì phải bằng 1

Sin bình thì bằng tan bình trên tan bình cộng 1

Cos bình bằng một trên một cộng tan bình

Một trên sin bình bằng 1 cộng cot bình

Một trên cos bình bằng một cộng tan bình

Bắt được quả tan,

Sin nằm trên cos,

Cot cải lại,

Cos nằm trên sin.

Hoặc là:

Bắt được quả tan,

Sin nằm trên cos (tan x = $\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$),

Cot dại dột,

Bị cos đè cho (cot x = $\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}$).

2. Công thức cộng lượng giác

$$\begin{gathered} \cos \left(x+y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x-y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \sin \left(x+y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \sin \left(x-y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \\ \tan \left(x-y\right)=\frac{\tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)}{1+\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

Thơ công thức cộng

Cos cộng cos thì bằng hai cos cos

Cos trừ cos phải bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin thì bằng hai sin cos

Sin trừ sin bằng hai cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin nhớ nha dấu trừ

Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ mà.

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

+ cos($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + x) = - sinx

+ sin($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$$\begin{gathered} {\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)= 2{\cos }^2\left(x\right)-1=1-2{\sin }^2\left(x\right) \\ \sin \left(2x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(2x\right)=\frac{\tan \left(x\right)}{1-{\tan }^2\left(x\right)} \end{gathered}$$

Công thức nhân ba

$$\begin{gathered} \sin \left(3x\right)=3\sin \left(x\right)-4{\sin }^3\left(x\right) \\ \cos \left(3x\right)=4{\cos }^3\left(x\right)-3\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Công thức nhân bốn

$8{\cos }^4\left(a\right)-8{\cos }^2\left(a\right)+1=8{\sin }^4\left(a\right)-8{\sin }^2\left(a\right)+1$

5. Công thức hạ bậc

Thực ra những công thức này đều được biến đổi ra từ công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ như: sin²a=1 - cos²a = 1 - $\frac{\cos \left(2a\right)+1}{2}$ = $\frac{1-\cos \left(2a\right)}{2}$.

$$\begin{gathered} \frac{1-\cos \left(2x\right)}{2} \\ {\tan }^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{1+\cos \left(2x\right)} \end{gathered}$$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$$\begin{gathered} 1. \cos \left(a\right)+\cos \left(b\right)=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right).\cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 2. \cos \left(a\right)-\cos \left(b\right)=-2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right).\sin \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 3. \sin \left(a\right)+\sin \left(b\right)=2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right).\cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 4. \sin \left(a\right)-\sin \left(b\right)=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right).\sin \left(\frac{a-b}{2}\right) \\ 5. \tan \left(a\right)+\tan \left(b\right)=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos \left(a\right).\cos \left(b\right)} \\ 6. \tan \left(a\right)-\tan \left(b\right)=\frac{\sin \left(a-b\right)}{\cos \left(a\right).\cos \left(b\right)} \\ 7. \sin \left(a\right)+\cos \left(a\right)=\sqrt{2}\sin \left(a+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sqrt{2}\cos \left(a-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ 8. \sin \left(a\right)-\cos \left(a\right)=\sqrt{2}\sin \left(a-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ 9. \tan \left(a\right)+cot\left(a\right)=\frac{2}{\sin \left(2a\right)} \\ 10. cot\left(a\right)-\tan \left(a\right)=2cot\left(2a\right) \\ 11. {\sin }^4\left(a\right)+{\cos }^4\left(a\right)=1-\frac{1}{2}{\sin }^2\left(2a\right)=\frac{1}{4}\cos \left(4a\right)+\frac{3}{4} \\ 12. {\sin }^6\left(a\right)+{\cos }^6\left(a\right)=1-\frac{3}{4}{\sin }^2\left(2a\right)=\frac{3}{8}\cos \left(4a\right)+\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Thơ nhớ:

Sin tổng lập tổng sin cô.

Cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng.

Tan tổng thì lập tổng hai tan.

Một trừ tan tích mẫu mang thương sầu.

Gặp hiệu ta chớ phải lo.

Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng.

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

$$\begin{gathered} 1.\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right] \\ 2.\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)=-\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)-\cos \left(a-b\right)\right] \\ 3.\sin \left(a\right)\cos \left(b\right)=-\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)-\sin s\left(a-b\right)\right] \end{gathered}$$

8. Nghiệm của phương trình lượn giác trong trường hợp đặc biệt

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

+ sin a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)

+ sin a = 1 ⇔ a = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + k2π; (k ∈ Z)

+ sin a = -1 ⇔ a = -$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + k2π; (k ∈ Z)

+ cos a = 0 ⇔ a = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + kπ; (k ∈ Z)

+ cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)

+ cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)

9. Dấu của các giá trị lượng giác

10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

11. Công thức lượng giác bổ sung

Biểu diễn công thức theo t= $\tan \left(\frac{a}{2}\right)$

$$\begin{gathered} 1. \sin \left(a\right)=\frac{2t}{1+t^2} \\ 2. \cos \left(a\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ 3. \tan \left(a\right)=\frac{2t}{1-t^2} \\ 4. cot\left(a\right)= \frac{1-t^2}{2t} \end{gathered}$$

12. Hàm lượng giác ngược

$$\begin{gathered} 1. arc\sin \left(x\right)+arc\cos \left(x\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ 2. arc\tan \left(x\right)+arccot\left(x\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ 3. arc\tan \left(x\right)+ arc\tan \left(\frac{1}{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\pi }}{2}, nếu x>0\\ \frac{-\mathrm{\pi }}{2}, nếu x<0\end{array}\right. \\ 4. arc\tan \left(x\right)+ arc\tan \left(y\right)=arc\tan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \\ 5. arc\tan \left(x\right)- arc\tan \left(y\right)=arc\tan \left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \\ 6. \sin \left(arc\cos \left(x\right)\right)=\sqrt{1-x^2} \\ 7. \cos \left(arc\sin \left(x\right)\right)=\sqrt{1-x^2} \\ 8. \sin \left(arc\tan \left(x\right)\right)= \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ 9. \cos \left(arc\tan \left(x\right)\right)= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\ 10. \tan \left(arc\sin \left(x\right)\right)= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ 11. \tan \left(arc\cos \left(x\right)\right)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{gathered}$$

II. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho $x+y+z=\pi$, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Lời giải:

Từ giả thiết, ta có:

$x+y+z=\pi \iff x+y=\pi -z$

$\Rightarrow tan\left(x+y\right)=tan\left(\pi -z\right)$

$\iff \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x.\tan y}=-\tan z$

$\iff \tan x+\tan y=-\tan z+\tan x.\tan y.\tan z$

$\iff \tan x+\tan y+\tan z=\tan x.\tan y.\tan z$

Suy ra đpcm.

Câu 2: Cho $\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)$, với $x+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng: $tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2} = \frac{1}{3}$.

Lời giải:

Từ giả thiết, ta có:

$\begin{array}{l}\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)\\ \iff 2\sin \frac{x+y}{2}.cos\frac{x-y}{2} =4sin\frac{x+y}{2}.cos\frac{x+y}{2}\end{array}$

$\iff cos\frac{x-y}{2}=2cos\frac{x+y}{2}(dox+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

$\iff cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} +sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2} =2\left(cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} -sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2}\right)$

$\iff 3sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2}=cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} \iff tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2} = \frac{1}{3}$

Suy ra đpcm.

Câu 3: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Tính giá trị của $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$ (vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$).

Ta có: $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

Câu 4: Tính giá trị biểu thức $M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right)+\sin 307°.\sin 113°$.

Lời giải:

$M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right)+\sin 307°.\sin 113°$

$=\cos \left(–53°\right).\sin \left(23°–360°\right)+\sin \left(-53°+360°\right).\sin \left(90°+23°\right)$

$=\cos \left(–53°\right).\sin 23°+\sin \left(-53°\right).\cos 23°$

$=\sin \left(23°-53°\right)$$=-\sin 30°=-\frac{1}{2}$

Câu 5: Cho số thực $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Tính $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$.

Lời giải:

Ta có: $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$

$=\left(2\sin 2\alpha cos2\alpha +2\sin 2\alpha \right)cos\alpha$

$=2\sin 2\alpha \left(\cos 2\alpha +1\right)\cos \alpha$

$=4\sin \alpha \cos \alpha \left(1-2{\sin }^2\alpha +1\right)\cos \alpha$

$=4\sin \alpha {\cos }^2\alpha (2-2si{n}^2\alpha )$

$=4\sin \alpha \left(1-{\sin }^2\alpha \right)\left(2-2{\sin }^2\alpha \right)$

$=8{\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}^2\sin \alpha$

$=8{\left(1-\frac{1}{16}\right)}^2.\frac{1}{4}$$=\frac{225}{128}$

Câu 6: Rút gọn biểu thức $P=\frac{\cos a+2\cos 3a+\cos 5a}{\sin a+2\sin 3a+\sin 5a}$.

Lời giải:

$P=\frac{\cos a+2\cos 3a+\cos 5a}{\sin a+2\sin 3a+\sin 5a}$

$=\frac{2\cos 3a\cos 2a+2\cos 3a}{2\sin 3a\cos 2a+2\sin 3a}$

$=\frac{2\cos 3a\left(\cos 2a+1\right)}{2\sin 3a\left(\cos 2a+1\right)}$

$=\frac{\cos 3a}{\sin 3a}=\cot 3a$

Câu 7: Chứng minh biểu thức $A=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$ không phụ thuộc vào x.

Lời giải:

Ta có: $A=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\tan }^{2}x}\cdot {\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}^2$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{{\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2-{\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}$

$=\frac{-4{\tan }^{2}x}{4{\tan }^{2}x}=-1$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Câu 8: Rút gọn biểu thức $A=\frac{2{\cos }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{\sin }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$ .

Lời giải:

Ta có:

$A=\frac{2{\cos }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{\sin }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$

$=\frac{\cos 4\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha }{\sqrt{3}\sin 4\alpha -\cos 4\alpha }$

$=\frac{\frac{1}{2}\cos 4\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4\alpha }{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4\alpha -\frac{1}{2}\cos 4\alpha }$

$=\frac{\sin \left(4\alpha +30°\right)}{\sin \left(4\alpha -30°\right)}$

Câu 9: Biến đổi biểu thức $\sin \alpha -1$ thành tích các biểu thức.

Lời giải:

Ta có:

$\sin \alpha -1=\sin \alpha -\sin \frac{\pi }{2}$

$=2\cos \frac{\alpha +\frac{\pi }{2}}{2}\sin \frac{\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}$

$=2\cos \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{4}\right).$

Câu 10: Biết $\sin \beta =\frac{4}{5}$, $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ và $\alpha \ne k\pi$. Chứng minh biểu thức: $A=\frac{\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\beta \right)-\frac{4\cos \left(\alpha +\beta \right)}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha }$ không phụ thuộc vào $\alpha$.

Lời giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}0<\beta <\frac{\pi }{2}\\ \sin \beta =\frac{4}{5}\end{array}\right.\Rightarrow \cos \beta =\frac{3}{5}$

$A=\frac{\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\beta \right)-\frac{4\cos \left(\alpha +\beta \right)}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha }$

$=\frac{3(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-4(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )}{\sqrt{3}\sin \alpha }$

$=\frac{3\left(\frac{3}{5}\sin \alpha +\frac{4}{5}\cos \alpha \right)-4\left(\frac{3}{5}\cos \alpha -\frac{4}{5}\sin \alpha \right)}{\sqrt{3}\sin \alpha }$

$=\frac{5\sin \alpha }{\sqrt{3}\sin \alpha }=\frac{5}{\sqrt{3}}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến α.