Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1. Phương pháp giải

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x₀; y₀). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =

+ Cho điểm A( x_A; y_A) và điểm B( x_B; y_B) . Khoảng cách hai điểm này là :

AB =

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa hoặc bài tập có giải

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1 B. 2 C. D.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:

d(M;a) = =

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: = 1 là:

A. 4,8 B. C. 1 D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) = = 4,8

Chọn A.

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng là:

A. 2 B. C. D.

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) :

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d( M; d) = = 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) = = 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A. B. 1 C. D.

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d( M; d) = =

Chọn A.

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10 B. C. D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) = =

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A. B. 3 C. D.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) = =

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10 B. 5 C. √26 D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) = = √5

+ BC = = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S = .d( A; BC).BC = .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và
d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1. B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S = = 2 .

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng là:

A. 2 B. C. D.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) :

=> Phương trình (d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0.

+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là:

d(M, d)= = 2

Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:

A. R = B. R = C. R = 44 D. R =

Lời giải:

Đáp án: A

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C) đến đường thẳng d chính là bán kính đường tròn.

=> R = d(I; d) = =

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và
(b) : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.

Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) = = 2; d(A; b) = = 1

do đó diện tích hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2

Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3 B. C. D. 147

Lời giải:

Đáp án: A

+ Phương trình đường thẳng AC:

=> Phương trình AC: 1( x - 2) + 0.(y + 1) = 0 hay x - 2= 0..

+ Độ dài AC = = 3 và khoảng cách từ B đến AC là:

d(B; AC) = = 2

=> Diện tích tam giác ABC là : S = AC.d( B;AC) = .3.2 = 3 .

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85 B. 0,9 C. 0,95 D. 1

Lời giải:

Đáp án: B

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d):

=> ( d): 2(x - 1) + 1( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

=> d(A, d) = ≈ 0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là = 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là = 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6 B. 4,5 C. 3 D. 9

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB = = √5

Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)= =

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5. = 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình

=> A( 1; 1)

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là :

d( A; d’) = = 2

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{\left|5.2-3.3-2\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{34}}{34}$.

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = $\frac{\left|5.0+2.0-1\right|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{\sqrt{29}}{29}$.

Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{\left|2.\left(-5\right)-1.2+5\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện