Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Với tài liệu về các cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
1. Phương pháp giải
+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =
+ Cho điểm A( xA; yA) và điểm B( xB; yB) . Khoảng cách hai điểm này là :
AB =
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ minh họa hoặc bài tập có giải
Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:
A. 1 B. 2 C. D.
Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:
d(M;a) = =
Chọn D.
Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: = 1 là:
A. 4,8 B. C. 1 D. 6
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d: = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0
⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :
d( O; d) = = 4,8
Chọn A.
Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng là:
A. 2 B. C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
(d) :
⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0
+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:
d( M; d) = = 2
Chọn A.
Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:
A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10
Lời giải
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn
⇒ R= d(O; d) = = 10
Chọn D.
Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:
A. B. 1 C.
D.
Lời giải
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
d( M; d) = =
Chọn A.
Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:
A. 2√10 B. C.
D. 2
Lời giải
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :
⇒ A( -1; 1)
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :
d( A; ∆) = =
Chọn C
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:
A. B. 3 C.
D.
Lời giải
+ Phương trình đường thẳng BC:
⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0
⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
d( A; BC) = =
Chọn A.
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.
A. 10 B. 5 C. √26 D. 2√5
Lời giải
+ Phương trình BC:
⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0
⇒ d( A;BC) = = √5
+ BC = = 2√5
⇒ diện tích tam giác ABC là: S = .d( A; BC).BC =
.√5.2√5 = 5
Chọn B.
Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và
d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:
A. 1. B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng
S = = 2 .
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng là:
A. 2 B. C.
D.
Lời giải:
Đáp án: A
+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
(d) :
=> Phương trình (d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0.
+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là:
d(M, d)= = 2
Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:
A. R = B. R =
C. R = 44 D. R =
Lời giải:
Đáp án: A
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C) đến đường thẳng d chính là bán kính đường tròn.
=> R = d(I; d) = =
Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và
(b) : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.
Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) = = 2; d(A; b) =
= 1
do đó diện tích hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2
Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?
A. 3 B. C.
D. 147
Lời giải:
Đáp án: A
+ Phương trình đường thẳng AC:
=> Phương trình AC: 1( x - 2) + 0.(y + 1) = 0 hay x - 2= 0..
+ Độ dài AC = = 3 và khoảng cách từ B đến AC là:
d(B; AC) = = 2
=> Diện tích tam giác ABC là : S = AC.d( B;AC) =
.3.2 = 3 .
Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng gần với số nào sau đây ?
A. 0, 85 B. 0,9 C. 0,95 D. 1
Lời giải:
Đáp án: B
Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
(d):
=> ( d): 2(x - 1) + 1( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0
=> d(A, d) = ≈ 0,894
Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là
A. 6 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: A
+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là = 2
+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là = 3
=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6
Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)
A. 6 B. 4,5 C. 3 D. 9
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường thẳng AB:
=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0
+ độ dài đoạn AB: AB = = √5
Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)= =
=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5. = 9
Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình
=> A( 1; 1)
+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là :
d( A; d’) = = 2
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:
d(A; d) = .
Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:
d(O; d) = .
Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:
d(A; d) = .
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)