Khi nào hàm số đồng biến trên R

Khi nào hàm số đồng biến trên R

I. Lý thuyết

1. Khi nào thì đồng biến trên R?

- Hàm số đa thức bậc 1

Hàm số y = ax + b $(a\ne 0)$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi a > 0

- Hàm số bậc 3

Hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ {△}_{y\text{'}}=b^2-3ac\le 0\end{array}\right.$

Lưu ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được, ví dụ như: Hàm số bậc 2,4,...

2. Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = $-2{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}$ và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

Ta có: f’(x) = -6x2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.

0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

Ví dụ 2: Hàm số y = $x^3-3x^2$ + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = $3x^2$ – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -$x^4$ + $x^2$ – 2

Giải

Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

y’ = -4x3 + 2x = 2x (-2x2 + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

Bảng biến thiên:

Bài 2: Cho hàm số y=${\mathrm{x}}^3$+2(m-1)${\mathrm{x}}^2$+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Giải:

Để y=${\mathrm{x}}^3$+2(m-1)$x^2$+3x-2 đồng biến trên R thì ${\left(\mathrm{m}-1\right)}^2$-3.3 ≤ 0⇔ -3≤m-1≤3 ⇔ -2≤m≤4.

Bài 3: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = $\frac{1}{3}$ (m² – m) x³ + 2mx² + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

y’ = (m² – m) x² + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ.

+ Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

+ Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

+ Với ta có y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2; -1; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Bài 4: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sau đồng biến trên (–∞; +∞):

Lời giải

Ta có: y’ = (m – 1)$x^2$ + 2mx + 3m – 2

Xét khi m = 1, ta có y’ = 2x + 1.

Nên hàm số đã cho không là hàm đồng biến trên (–∞; +∞).

⇒ m = 1 không thỏa mãn.

Xét khi m ≠ 1, ta có hàm số đồng biến trên (–∞; +∞).

Vậy: m ≥2.

Bài 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số sau đồng biến trên R:

Lời giải

Ta có: y’ = mx2 – 4mx + 3m + 6

Trường hợp 1: Nếu m = 0 ⇒ y’ = 6 > 0, ∀x ∈ ℝ

⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ nên m = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0, hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.

Mà: m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Từ hai trường hợp trên ta được m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 + 2x + 3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ là:

Bài 7: Tìm các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên ℝ.

Bài 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng?

Bài 9: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới. Hỏi hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng nào?

Bài 10. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới. Hỏi hàm số y = f(1 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?

Bài 11. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình dưới. Hỏi hàm số y = f(3 – x²) đồng biến trên khoảng nào?

Bài 12. Tìm giá trị m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + m đồng biến trên tập xác định.

Bài 13. Tìm m để hàm số y = $\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$.

Bài 14. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f^'(2 - x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-2,4) . B. (-1,3) C. (-2,0) D. (0,1)

Bài 15. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f^'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (-1,0) B. (0,2) C. (1,2) D. (0,1)

Bài 16. Cho hàm số f(x). Biết hàm số f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f(3 - x²) + 2018 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0). B. (2;3)

C. (-2,-1) . D. (0;1)

Bài 17. Tìm m lớn nhất để hàm số đồng biến trên R ?

A. m = 1. B. m = 2. C. Đáp án khác. D. m = 3.

Bài 18. Tìm điều kiện của a, b để hàm số y = 2x + a sinx + bcosx luôn luôn đồng biến trên R .

A. a² + b² ≤ 2 . B. a² + b² ≥ 2 C. a² + b² ≤ 4 D. a² + b² ≥ 2

Bài 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = x + m cosx luôn đồng biến trên R ?

Bài 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ?

A. m ≤ 0. B. m ≤ 12. C. m ≥ 0. D. m ≥ 12