Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Khi nào hàm số đồng biến trên R

    Với tài liệu về Để hàm số đồng biến trên R bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 146 25/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Khi nào hàm số đồng biến trên R

    I. Lý thuyết

    1. Khi nào thì đồng biến trên R?

    - Hàm số đa thức bậc 1

    Hàm số y = ax + b (a≠0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0

    - Hàm số bậc 3

    Hàm số y=ax3+bx2+cx+d(a≠0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a>0△y'=b2-3ac≤0

    Lưu ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được, ví dụ như: Hàm số bậc 2, 4,...

    2. Định lí

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

    • Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

    A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

    B. f (a) > f (b)

    C. f (b) < 0

    D. f (a) < f (b)

    Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

    Ta có: f’(x) = -6x2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

    ⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.

    0 ≤ a < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

    Ví dụ 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:

    Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

    Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2

    Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

    ⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2

    Giải

    Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ

    y’ = -4x3 + 2x = 2x (-2x2 + 1)

    Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

    Bảng biến thiên:

    Bài 2: Cho hàm số y=x³+2(m-1)x²+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

    Giải:

    Để y=x³+2(m-1)x²+3x-2 đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3≤0⇔-3≤m-1≤3⇔-2≤m≤4.

    Bài 3: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ⅓ (m2 – m) x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

    A. 4

    B. 5

    C. 3

    D. 0

    Lời giải

    Chọn A

    y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ.

    + Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

    + Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

    + Với ta có y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

    Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0

    Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2; -1; 0}

    Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

    Bài 4: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sau đồng biến trên (–∞; +∞):

    Lời giải

    Ta có: y’ = (m – 1)x2 + 2mx + 3m – 2

    Xét khi m = 1, ta có y’ = 2x + 1.

    Nên hàm số đã cho không là hàm đồng biến trên (–∞; +∞).

    ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

    Xét khi m ≠ 1, ta có hàm số đồng biến trên (–∞; +∞).

    Vậy: m ≥2.

    Bài 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số sau đồng biến trên R:

    Lời giải

    Ta có: y’ = mx2 – 4mx + 3m + 6

    Trường hợp 1: Nếu m = 0 ⇒ y’ = 6 > 0, ∀x ∈ ℝ

    ⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ nên m = 0 thỏa mãn.

    Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0, hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.

    Mà: m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}

    Từ hai trường hợp trên ta được m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

    Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = x3 + mx2 + 2x + 3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ là:

    Bài 7: Tìm các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên ℝ.

    Bài 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 146 25/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: