Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tích có hướng

Công thức tích có hướng

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a→=(a₁;a₂;a₃ ) và b→=(b₁;b₂;b₃ ). Tích có hướng của hai vecto a→ và b→ , kí hiệu là [a→ , b→ ], được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.

2. Tính chất

+ [a→, b→ ]⊥ a→ ; [a→ , b→ ]⊥ b→

+ [a→ , b→ ]=-[b→, a→ ]

+ [i→, j→ ]=k→ ; [ j→ , k→ ]= i→ ; [k→ , i→ ]= j→

+ |[ a→ , b→ ]|=| a→ |.| b→ |.sin⁡( a→ , b→ )

+ a→ , b→ cùng phương ⇔ [a→ , b→ ]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:

a→ , b→ và c→ đồng phẳng ⇔[ a→ , b→ ]. c→ =0

+ Diện tích hình bình hành ABCD:

S_ABCD=|[AB→ ; AD→ ]|

+ Diện tích tam giác ABC:

S_ABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|

+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[AB→; AD→ ]. AA'→ |

+ Thể tích tứ diện ABCD

V_ABCD=1/3 |[AB→ ; AC→ ]. AD→ |

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Lời giải:

AB→ =(-2;1;1); AC→ =(-2;1; -1); AD→ =(1; -1; -3)

⇒[AB→ , AC→ ]=(-2;-4;0) ⇒[ AB→ , AC→ ]. AD→ =2≠0

⇒AB→ , AC→ , AD→ không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) V_ABCD=1/6 |[AB→ , AC→ ]. AD→ |=2/6=1/3

Ta có: BC→ =(0;0; -2), BD→ =(3; -2; -4)

⇒[ BC→ , BD→ ]=(-4; -6;0)⇒S_BCD=1/2 |[BC→ , BD→ ]|=√13

V_ABCD=1/3 d(A;(BCD)).S_BCD

⇒d(A;(BCD))

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Lời giải:

+ Ta có: AB→ =(3; -5; -8); AC→ =(5; -6; -11);

AD→ =(7; -8; -15), CD→ =(2; -2; -4)

⇒[ AB→ , AC→ ]=(7;-7;7) ⇒[ AB→ ,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

⇒ AB→ , AC→ , AD→ đồng phẳng.

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)

+ [AB→ , CD→ ]=(4; -4;4) ≠0→ ⇔ AB→ , CD→ không cùng phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Lời giải:

+ AB→=(1;0;1), AD→=(2;0;1), AE→=(-2;1; -3)

⇒[ AB→ , AD→ ]=(0;1;0)⇒[ AB→ , AD→ ]. AE→=1

⇒V_ABCD.EFGH=|[ AB→ , AD→ ]. AE→ |=1

+ S_AEFB=|[ AB→ , AE→ ]|=√3

⇒S_DCGH=S_AEFB=√3

V_ABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).S_DCGH

⇒d(A;(DCGH))

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

A. (3√5)/2 B. 3√5

C. 4√5 D. 5/2

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB→ =(3; -2;1); AC→ =(1;0;2)⇒[AB→ , AC→ ]=(-4; -5;2)

S_ABC=1/2 |[AB→ , AC→ ]|=(3√5)/2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

A. 1 B. 2

C. 1/3 D. 1/2

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

AB→ =(-1; 1;0); AC→=(-1;0;1); AD→=(-3;1; -1)

⇒[AB→ , AC→ ]=(1;1;1)⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=-3

V_ABCD=1/6 |AD→ . [AB→ , AC→ ]|=1/2

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

A. √5 B. √3

C. 4√2 D. 2√5

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(-5; 0;-10); AC→=(3;0;-6); BC→=(8;0;4)

AB=5√5;AC=3√5;BC=4√5

S_ABC=1/2 |[ AB→ , AC→ ]|=30

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác

Ta có:

S=pr

⇒r=√5

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

A. 3 B. 4

C. 9 D. 6

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

AB→=(3; 6;3); AC→=(1;3;-2); AD→=(2;-2; 2)

⇒[ AB→ , AC→ ]=(-21;9;3)⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=-54

V_ABCD=1/6 |AD→ . [AB→ , AC→ ]|=9

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đáp án : D

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là:

A. (2√30)/5 B. (√30)/5

C. (√10)/5 D. (√6)/2

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-1; 0;1); AC→=(1;1;1)⇒[AB→ , AC→ ]=(-1;2;-1)

S_ABC=1/2 |[ AB→ , AC→ ]|=√6/2

BC=| BC→ |=√5

S_ABC=1/2 h.BC ⇒h=(2S)/BC=√(30)/5

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là:

A. 1 B. 2

C. 4 D. 6

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(1;1;0), OM→=(m;0;0), ON→=(0;n;0), OS→=(0;0;1)

[ OA→ , OM→ ]=(0;0; -m)⇒ OS→ . [ OA→ , OM→ ]=(0;0; -m)

⇒V_S.OAM=1/6 |OS→ . [OA→ , OM→ ]|=m/6

[OA→ , ON→ ]=(0;0; m)⇒ OS→ . [OA→ , OM→ ]=(0;0; n)

⇒V_S.OAN=1/6 |OS→ . [OA→ , ON→ ]|=n/6

Ta có:

V_S.OAMN=m/6+n/6=(m+n)/6=1

Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(2;5-;2); AC→=(-2;4;2); AD→=(2;5;1)

⇒[AB→ , AC→ ]=(2; -8;18) ⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=-18

V_ABCD=1/6 |AD→ . [AB→ , AC→ ]|=3