Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp hàm số có 3 cực trị

Hàm số có 3 cực trị

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) và điểm x₀ ∈ (a,b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_o thì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x₀ - h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\, với h > 0 .

- Nếu f‘(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f‘(x) < 0 trên (x₀ ; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f‘(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f‘(x) > 0 trên (x₀ ; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh:x_o ∈ (a; b) ⊂ D nghĩa là x_o là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số y = √x xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm 0.

^- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CĐ ( f_CT ), còn điểm M (x₀;f( x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

^- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.

- x_o là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ; f ‘(x_o) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_o
b) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_o

Lưu ý:

- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o.

B. CÁC KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CƠ BẢN.

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f^'(x). Tìm các điểm tại đó f^'(x) bằng 0 hoặc f^'(x) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f^'(x). Giải phương trình f^'(x) và ký hiệu x_i (i = 1,2,3...) là các nghiệm.

Bước 3: Tính f^''(x) và f^''(x_i) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f^''(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i .

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d ( a ≠ 0).

- Ta có y^' = 3ax² + 2bx + c

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y^' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b² - 3ac > 0 .

Và không có cực trị ⇔Δ’ = b² − 3ac ≤ 0

- Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Khi đó:

Phương trình đường thẳng AB :

Độ dài đoạn thẳng

Hoặc khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: (CASIO hỗ trợ).

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C) .

Ta có

(C) có ba điểm cực trị y^' = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay ab < 0

Hàm số có 3 cực trị là:

Độ dài các đoạn thẳng:

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm x_o thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi x_i tính f ”(x_i)

- Nếu f ”(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i

- Nếu f ”(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 3 B. -1. C. -5 D. 1 .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là y = f(-1) = 3 .

Chọn A.

Ví dụ 2. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số f(x) có đạo hàm f^'(x) = x(x + 1)(x - 4)³, ∀x ∈ R. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 .

Lời giải

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x⁴[f(x + 1)]² là

A. 11 . B. 9 . C. 7 . D. 5 .

Lời giải

Ta chọn hàm f(x) = 5x⁴ - 10x² + 3 .

Đạo hàm

g^'(x) = 4x³[f(x + 1)]² + 2x⁴f(x + 1)f^'(x + 1) = 2x³f(x + 1)[2f(x + 1) + xf^'(x + 1)]

Ta có

=> Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0.

=> Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (∗) .

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.

Chọn B.

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -2x³ + 3x² + 1 .

A. y = x -1 B. y = x +1 C. y = -x +1 D. y = -x -1

Lời giải

Ta có

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0,1) và B(1,2).

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y = x +1

Chọn B.

Cách 2. Lấy y chia cho y^', ta được ⇔ .

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y = x +1

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a,b). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu f(x) đồng biến trên (a,b) thì hàm số không có cực trị trên (a,b).

B. Nếu f(x) nghịch biến trên (a,b) thì hàm số không có cực trị trên (a,b).

C. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ ∈ (a,b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x₀; f(x₀)) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f(x) đạt cực đại tại x₀ ∈ (a,b) thì f(x) đồng biến trên (a;x₀) và nghịch biến trên (x₀;b) .

Câu 2. Cho khoảng (a,b) chứa điểm x₀, hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) (có thể trừ điểm x₀). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu f(x) không có đạo hàm tại x₀ thì f(x) không đạt cực trị tại x₀

B. Nếu f^'(x) = 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x₀

C. Nếu f^'(x₀) = 0 và f^''(x₀) = 0 thì f(x) không đạt cực trị tại điểm x₀

D. Nếu f^'(x₀) = 0 và f^''(x₀) ≠ 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x₀

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu f^'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x₀ và f(x) liên tục tại x₀ thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x₀

B. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x₀ khi và chỉ khi x₀ là nghiệm của f^'(x) = 0

C. Nếu f^'(x₀) = 0 và f^''(x₀) = 0 thì x₀ không là điểm cực trị của hàm số y = f(x)

D. Nếu f^'(x₀) = 0 và f^''(x₀) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại x₀

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Các dạng bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Các dạng bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số