Trục đối xứng là gì? Các hình có trục đối xứng

Trục đối xứng là gì? Các hình có trục đối xứng

I. Trục đối xứng là gì?

Quan sát hình trên, ta thấy đường thẳng a chia hình tam giác thành hai nửa hình tam giác bằng nhau (nếu ta gấp hình đó theo đường thẳng a thì hai nửa hình tam giác sẽ chồng khít lên nhau). Những hình có tính chất như vậy được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng a được gọi là trục đối xứng.

Ví dụ: Các hình dưới dây đều có trục đối xứng

Ta thấy các hình trên đều có chung một đặc điểm có một đường thẳng chia các hình trên thành hai nửa hình, khi ta gấp các hình theo đường thẳng đó thì hai nửa hình này chồng khít lên nhau.

*Lưu ý: Hình có trục đối xứng còn được gọi là hình đối xứng trục

Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trục của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Quy ước:

Hai điểm A, B gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Nếu điểm M nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với M qua đường thẳng d cũng là điểm M.

Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

II. Một số định lí liên quan đến trục đối xứng

Các đường thẳng là đối xứng của một đường thẳng qua ba cạnh của tam giác đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua trực tâm của tam giác. Trong trường hợp này điểm đồng quy nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Định lý Bliss

Cho ba đường thẳng song song đi qua ba trung điểm của ba cạnh của tam giác khi đó các đường thẳng đối xứng của ba cạnh tam giác đó qua ba đường thẳng này một cách lần lượt sẽ đồng quy tại đường tròn chín điểm của tam giác đó.

Định lý Paul Yiu

Cho đường thẳng qua tâm nội tiếp của tam giác và cắt ba cạnh BC, CA, AB của tam giác lần lượt tại X, Y, Z. Lấy các điểm X′, Y′, Z′ là đối xứng của X, Y, Z qua ba đường phân giác tương ứng. Khi đó ba điểm X′, Y′, Z′ thẳng hàng.

III. Các hình có trục đối xứng

1. Trục đối xứng của đoạn thẳng

Trục đối xứng của đoạn thẳng HK là đường thẳng a đi qua trung điểm M của đoạn thẳng HK và vuông góc với HK. Khi đó đường thẳng a còn được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng HK.

Ngoài ta ta còn nói: Điểm H và điểm K đối xứng với nhau qua đường thẳng a.

2. Trục đối xứng của đường tròn

Trục đối xứng của đường tròn là đường thẳng đi qua tâm của nó. Như vậy, hình tròn có vô số trục đối xứng.

3. Trục đối xứng của một số tam giác

- Trục đối xứng của tam giác cân là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đáy của tam giác cân; tam giác cân có một trục đối xứng.

- Trục đối xứng của tam giác đều là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện; tam giác đều có 3 trục đối xứng.

4. Trục đối xứng của một số tứ giác, lục giác đều

- Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đáy và hình thang cân có 1 trục đối xứng.

- Trục đối xứng của hình thoi là các đường chéo của hình thoi và hình thoi có 2 trục đối xứng.

- Trục đối xứng của hình chữ nhật là các đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện và hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.

- Trục đối xứng của hình vuông là hai đường chéo của hình vuông và đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện; hình vuông có 4 trục đối xứng.

- Trục đối xứng của hình lục giác đều là các đường thẳng đi qua các cặp đỉnh đối diện và các đường thẳng đi qua các trung điểm của các cặp cạnh đối diện; vì vậy hình lục giác đều có 6 trục đối xứng.

- Trục đối xứng của hình ngũ giác đều là các đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện; hình ngũ giác đều có 5 trục đối xứng.

5. Trục đối xứng của một số chữ cái, chữ số

Một số chữ cái, chữ số có trục đối xứng ví dụ như: chữ A, B, C, D, E, M, Y, H, X, O, số 3, 8, 0.

IV. Các dạng bài tập về trục đối xứng

Dạng 1: Dựa vào khái niệm trục đối xứng để nhận biết các hình phẳng có trục đối xứng

*Phương pháp giải: Dựa vào khái niệm về trục đối xứng và một số ví dụ về các hình có trục đối xứng đã nêu ở mục 1 để giải các bài toán tìm các hình có trục đối xứng.

Ví dụ:

a) Đường thẳng đi qua ............. của hai đáy hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.

b) ................... của hình thoi là hai đường chéo của hình thoi.

c) Hình tròn có .............. trục đối xứng.

Trả lời:

a) Đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.

b) Trục đối xứng của hình thoi là hai đường chéo của hình thoi.

c) Hình tròn có vô số trục đối xứng.

Dạng 2: Ứng dụng trục đối xứng vào các hình ảnh thực tế

*Phương pháp giải: Trong thực tế trục đối xứng có rất nhiều ứng dụng, nó giúp cho hình ảnh được mô tả một cách hài hòa, cân đối. Dựa vào khái niệm trục đối xứng trong hình học để chỉ ra các hình ảnh trong thực tế đời sống có tính đối xứng trục.

Ví dụ. Quan sát các công trình kiến trúc và các bức ảnh nghệ thuật sau, cho biết hình nào có trục đối xứng?

Trả lời:

Các hình có trục đối xứng là hình 1 và hình 3.