Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

2. Mối quan hệ

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì

3. Các phương pháp

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng

Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác

* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.

Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.

Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và M thuộc tia BC sao cho BC = CM, N thuộc cạnh AC sao cho AN = 2NC. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì M thuộc tia BC sao cho BC = CM nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$; vì N thuộc cạnh AC sao cho AN = 2NC nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$.

Vì P là trung điểm AB nên $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm)

$\Rightarrow 3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$ (1)

Lại có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

$=2\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right)=2\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $3\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MP}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MP}$

Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$ (*)

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Mà I là trung điểm CD nên $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$

Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có:

$2\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$

Vậy A, M, C thẳng hàng.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung điểm của MN.

Giải:

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :

DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh).

DC = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=> ∠C1 = ∠M và BC = AM.

Mà : ∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự, ta được : BC // AN và BC = AN.

Ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M. N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A. Vẽ các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Giải

Kẻ MK ⊥ AB, MH ⊥ AC

Ta có M là trung điểm của CE

=>

Mặt khác

Mà

Ta lại có BM = MC => => MK = MH

=> (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>

=> AM là tia phân giác của góc A

Mặt khác tam giác BAD vuông cân tại A

=>

=> AD là tia phân giác của góc A

=> A, D, M thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác góc A)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài 5: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).

Bài 6: Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.