Trọng tâm tứ diện

Trọng tâm của tứ diện

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Điểm G trong bài toán trên được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Ta có thể nói: Trọng tâm của một tứ diện là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của cặp cạnh đối diện.

2. Tính chất

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giả sử tứ diện ABCD có trọng tâm G và tứ diện A'B'C'D' có trọng tâm G'.

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh rằng nếu vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0, thì G cũng là trọng tâm của tứ diện A'B'C'D'.

=> Ta biểu diễn vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → bằng tổng các vector từ G đến các đỉnh:

AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = (AG' → + GG' →) + (BG' → + GG' →) + (CG' → + GG' →) + (DG' → + GG' →) = AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4GG'

→.Vì vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0, ta có:

AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4GG' → = 0.

Suy ra: AG' → + BG' → + CG' → + DG' → = -4GG' →.

Nhưng theo định nghĩa, G là trọng tâm của tứ diện ABCD nghĩa là AG → + BG → + CG → + DG → = 0.

Do đó, ta có:

AG' → + BG' → + CG' → + DG' → = AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4GG' → + 4(G → - G →) = AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4(G → - G →) = (AG' → + BG' → + CG' → + DG' → + 4G →) - 4G → = 0 - 4G → = -4G →. Từ đó suy ra -4G → = -4GG' →, hay G → = GG'

→.Vậy, nếu vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0, thì G cũng là trọng tâm của tứ diện A'B'C'D'.

Điều ngược lại cũng tương tự, ta có thể chứng minh rằng nếu G cũng là trọng tâm của tứ diện A'B'C'D', thì vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng G cũng là trọng tâm của tứ diện A'B'C'D' khi và chỉ khi vector AA' → + BB' → + CC' → + DD' → = 0.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD, BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ACD ta có MR là đường trung bình nên $\left\{\begin{array}{l}MR//CD\\ MR=\frac{1}{2}CD\end{array}\right.$(1)

Tương tự tam giác BCD, ta có $\left\{\begin{array}{l}SN//CD\\ SN=\frac{1}{2}CD\end{array}\right.$(2)

Từ (1) và (2), ta suy ra $\left\{\begin{array}{l}MR//SN\\ MR=SN\end{array}\right.$

Dó đó tứ giác MRNS là hình bình hành. Như vậy MN, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn

Lí luận tương tự ta có tứ giác PRQA là hình bình hành nên PQ, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn. Vậy PQ, RS, MN đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện xảy ra:

a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$

b) $\overrightarrow{PG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})$ với mọi điểm P

Giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD

a) Ta có $$\begin{gathered} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM} \\ \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN} \end{gathered}$$

Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi

$\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=0 hay 2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\overrightarrow{0}$

Điều này tương đương với $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

b) G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có:

$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PG}+PD-\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}$

hay $\overrightarrow{PG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})$

Bài 2: Gọi G là trọng tâm tứ giác ABCD

a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy

b) Gọi A' là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA'

Giải:

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm cuae AB và CD thì trọng tâm G của tứ diện ABCD là trung điểm của PQ.

Giả sử đường thẳng AG cắt mp(BCD) tại A'. Ta phải chứng minh A' là trọng tâm tam giác BCD. Rõ ràng A' thuộc đường trung tuyến BQ của tam giác BCD. Từ P ta kẻ PP'//AA' thì PP' là đường trung bình của tam giác ABA'. Còn GA' là đường trung bình của tam giác QPP', tức là BP' = P'A' = A'Q(*) và AA' = 2PP', PP' = 3GA'(**)

a) Từ (*) suy ra A' là trọng tâm tam giác BCD

b) Từ (**) suy ra AA' = 4GA' hay GA = 3GA'

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Giải:

Theo quy tắc 3 điểm ta có :

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

Từ (1) và (2) ta có: