Cách tính thể tích khối chóp tứ giác đều và bài tập (2024) có đáp án

Cách tính thể tích khối chóp tứ giác đều

I. Lý thuyết

1. Hình chóp đều là gì?

Trong hình học, một hình chóp là một khối đa diện được hình thành bằng cách kết nối một điểm của một đa giác và một điểm, được gọi là đỉnh. Mỗi cạnh cơ sở và đỉnh tạo thành một hình tam giác, được gọi là mặt bên.

Hình chóp đều (hình chóp đa giác đều) là hình chóp có các mặt bên là tam giác cân, và đáy là hình đa giác đều (tam giác đều, hình vuông,…)

2. Công thức tính thể tích hình chóp đều

- Thể tích hình chóp đều: V = 1/ 3 S.h

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao

- Thể tích hình chóp cụt đều:

V = $\frac{1}{3}$.h.(B+B'+$\sqrt{B.B\text{'}}$)

Trong đó:

+ B và B’ lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt đều.

+ h là chiều cao (khoảng cách giữa 2 mặt đáy).

3. Hình chóp tứ giác đều là gì?

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).

* Tính chất:

- Đáy là hình vuông

- Các cạnh bên bằng nhau

- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (tâm đáy là giao điểm 2 đường chéo

- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau

- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

Ví dụ: Ta có hình chóp tứ giác đều SABCD thì:

Tứ giác ABCD là hình vuông có tâm O.

SO vuông góc mặt phẳng ABCD

SA=SB=SC=SD

(SA; (ABCD))=(SB;(ABCD))=(SC;(ABCD))=(SD;(ABCD))

* Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều

Công thức: S_xq = 4.S

Trong đó:

+ S_xq: Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều.

+ S: Diện tích mặt bên hình chóp tứ giác đều.

* Công thức tính diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều

Công thức: S_tp = S_xq + S_đáy

Trong đó:

+ S_tp: Diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều.

+ S_xq: Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều.

+ S_đáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều.

II. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều

Công thức V = (1/3).S_đáy.h

Trong đó:

+ V: Thể tích hình chóp tứ giác đều.

+ S_đáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều.

+ h: Chiều cao hình chóp tứ giác đều.

III. Bài tập vận dụng

Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Lời giải :

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a nên diện tích đáy là a²

Gọi O là tâm của hình vuông khi đó SO là chiều cao của hình chóp

SO = $\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Khi đó ta có V = $\frac{1}{3}. \frac{a}{\sqrt{2}}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$