Cách tính thể tích khối chóp tứ giác đều và bài tập (2024) có đáp án

Cách tính thể tích khối chóp tứ giác đều

I. Lý thuyết khối chóp tứ giác đều

1. Khối chóp tứ giác đều là gì?

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).

*Phân biệt khối chóp tam giác đều và khối chóp tứ giác đều

+ Hình chóp tam giác đều theo định nghĩa là hình chóp đều có đáy là tam giác (mặt bên là tam giác cân chưa đều)

+ Hình chóp tứ giác đều theo định nghĩa là hình chóp đều có đáy là tứ giác (lúc này đáy là hình vuông có mặt bên là tam giác cân)

2. Tính chất của hình chóp tứ giác đều

- Đáy là hình vuông

- Các cạnh bên bằng nhau

- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (tâm đáy là giao điểm 2 đường chéo

- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau

- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau

Ví dụ: Ta có hình chóp tứ giác đều SABCD thì:

Tứ giác ABCD là hình vuông có tâm O.

SO vuông góc mặt phẳng ABCD

SA = SB = SC = SD

(SA; (ABCD)) = (SB;(ABCD)) = (SC;(ABCD)) = (SD;(ABCD))

3. Công thức tính diện tích hình chóp tứ giác đều

* Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều

Công thức: S_xq = 4.S

Trong đó:

+ S_xq: Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều.

+ S: Diện tích mặt bên hình chóp tứ giác đều.

* Công thức tính diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều

Công thức: S_tp = S_xq + S_đáy

Trong đó:

+ S_tp: Diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều.

+ S_xq: Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều.

+ S_đáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều.

II. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều

Công thức V = $\frac{1}{3}$.S_đáy.h

Trong đó:

+ V: Thể tích hình chóp tứ giác đều.

+ S_đáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều.

+ h: Chiều cao hình chóp tứ giác đều.

Ví dụ minh họa: Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Lời giải :

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a nên diện tích đáy là a²

Gọi O là tâm của hình vuông khi đó SO là chiều cao của hình chóp

SO = $\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Khi đó ta có V = $\frac{1}{3}. \frac{a}{\sqrt{2}}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Bác Hạnh có làm một chiếc hộp gỗ có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy của hình chóp là 6 m, trung đoạn của hình chóp là 5m, Bác Hạnh muốn sơn bốn mặt xung quanh của hộp gỗ. Cứ mỗi mét vuông sơn cần trả 30 000 đồng ( tiền sơn và tiền công). Hỏi bác Khôi phải trả chi phí là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

chu vi đáy của chiếc hộp là: 6 x 4 = 24 m

diện tích xung quanh của chiếc hộp là: Sxq = 1/2 x 24 x 5 = 60 m²

diện tích sơn chính là diện tích xung quanh của chiếc hộp

do đó số tiền mà bác Hạnh phải trả là: 60 x 30 000 = 1800 000 đồng

Vậy số tiền bác Khôi phải trả là: 1 800 000 đồng

Bài 2: Một hình chóp tứ giác đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 6 cm, độ dài trung đoạn bằng 5 cm và chiều cao bằng 4 cm

a. tình diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều?

b. tính thể tích của hình chóp tứ giác đều đó?

Hướng dẫn giải:

a. chu ci của hình chóp tứ giác đều là: 6 x 4 = 24 cm

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là 60 cm²

b. diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều là: 6 x 6 = 36 cm²

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là: V = 1/3 x 36 x 4 = 48 cm³

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là: 48 cm³

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 3 cm, chiều cao của hình chóp bằng 5 cm. Tính thể tích của hình chóp bằng bao nhiêu?

Bài 4: cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 5 cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?

Bài 5: một hình chóp tứ giác đều S. ABCD có độ dài cạnh bên là 14 cm và đáy là hình vuông cạnh 11cm. tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Bài 6: một hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh bên SA = 13 cm và độ dài cạnh đáy bằng 5 căn 2/ Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều

Bài 7: tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy bằng 15 cm và 20 cm, chiều cao của mặt bên bằng 13 cm

Bài 8: cho hình chóp tứ giác đều có tất cả cạnh đều bằng 5 cm. tính thể tích của hình chóp gần nhất với số nào dưới đây?

Bài 9: cho hình chóp tứ giác đều O.DEGH có cạnh OD = 8 cm và cạnh đáy DE = 5 cm. Hyax cho biết:

a. mặt bên, mặt đáy và đường cao của hình đó. Mặt đáy và các mặt bên của hình chóp là gì?

b. độ dài các cạnh bên và cạnh đáy còn lại của hình đó

c. số đo mỗi góc của mặt đáy