Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Mặt phẳng cắt mặt cầu? Đặc điểm của thiết diện đường tròn

    Vietjack.me giới thiệu bài viết Mặt phẳng cắt mặt cầu? Đặc điểm của thiết diện đường tròn bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 408 28/12/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Mặt phẳng cắt mặt cầu? Đặc điểm của thiết diện đường tròn

    1. Mặt phẳng cắt mặt cầu

    Mặt phẳng cắt mặt cầu tạo ra một thiết diện là đường tròn, với tâm và bán kính phụ thuộc vào vị trí của mặt phẳng so với tâm mặt cầu. Nếu mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu, thiết diện sẽ là một đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính mặt cầu. Nếu mặt phẳng không đi qua tâm, nó sẽ tạo ra một đường tròn nhỏ hơn và có tâm cách tâm mặt cầu một khoảng cách nhất định.
    2. Đặc điểm của thiết diện đường tròn

    • Tâm: Tâm của đường tròn thiết diện nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cắt và đi qua tâm mặt cầu.

    • Bán kính: Bán kính của đường tròn thiết diện có thể được tính dựa trên bán kính của mặt cầu và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng cắt, theo định lý Pytago.
    3. Phân loại các trường hợp

    - Mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu: Thiết diện là đường tròn lớn, tâm trùng với tâm mặt cầu và bán kính bằng bán kính mặt cầu.

    - Mặt phẳng không đi qua tâm mặt cầu: Thiết diện là một đường tròn nhỏ hơn, có bán kính nhỏ hơn bán kính mặt cầu.

    4. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là:

    Lời giải:

    Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

    d(I;P)Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

    Bán kính R của mặt cầu là:

    RCác dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)= 5

    Phương trình mặt cầu cần tìm là:

    (x-2)2+(y-1)2+(z-3)2=25

    Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 4) và mặt phẳng (P): x + y + z =1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π

    Lời giải:

    Gọi r là bán kính thiết diện

    Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

    ⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2

    Phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0

    Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

    d(I;P)Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)= 23

    Gọi R là bán kính mặt cầu

    ⇒ R=r2+d2=4

    Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 4 là:

    (x-1)2+(y-2)2+(z-4)2=16

    Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một đường tròn có diện tích là 20π.

    Lời giải:

    I là giao điểm của (P) và Δ

    I thuộc Δ nên I (1+7t; 3t; 1 – 2t)

    Lại có I thuộc (P) nên:

    5(1+7t) -4.3t+1 -2t-6=0 ⇔ t=0

    ⇒ I(1;0;1)

    Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là:

    d(I;(Q))Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)= 563

    Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

    πr2 =20π ⇒ r=25

    Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:

    ⇒ R=r2+d2Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)= √(330)/3

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

    (x-1)2+y2+(z-1)2=110/3

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 408 28/12/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: