Hàm số liên tục là gì? Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Hàm số liên tục là gì? Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục là gì?

- Hàm số liên tục là hàm không có sự thay đổi đột ngột, hoặc có thể hiểu là giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: $\underset{x\to x_0}{lim }f\left(x\right) = f\left(x_0\right)$

- Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

2. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = f(x₀).

Hàm số f(x) không liên tục tại x₀ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số g(x) = $\frac{2x+1}{2x-1}$ tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Ta thấy hàm số g(x) xác định trên ℝ \ , do đó x₀ = 1 thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: g(1) = $\frac{2.1+1}{2.1-1}$= 3

$\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x+1}{2x-1}$ = 3 = g(1).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại x₀ = 1.

3. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$f(x) = f(a), $\underset{x\to b^{-}}{\lim }$f(x) = f(b).

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

- Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:

+ Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

+ Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = $\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = $\frac{x+2}{x-2}$. Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) liên tục.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; 2) ∪ (2; +∞). Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

4. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số y = liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = $\frac{\cos x}{3-x}$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên ℝ \{3}.

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Ví dụ: Phương trình 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực thuộc khoảng (–2; 2) ?

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) = 2x³ – 6x + 1 liên tục trên ℝ nên nó liên tục trên đoạn[– 2; 2].

Ta có: f(–2) = –3 ; f(2) = 5 ; f(0) = 1 ; f(1) = – 3.

Ta thấy:

+) f(– 2). f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–2; 0).

+) f(0) . f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

+) f(1) . f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Do đó phương trình: 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thực thuộc khoảng (– 2; 2).

5. Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = $\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = $\frac{3}{x}$ liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = m$\Rightarrow$m = $\frac{1}{6}$.

Vậy m = $\frac{1}{6}$ thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 2: Cho hàm số f(x) = . Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$(x²+1) = 1

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 3: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.