Hypebol (Lý thuyết, công thức), các dạng bài tập và cách giải

Hypebol

I. Lý thuyết Hypebol

Cho hai điểm cố định $F_1,F_2$ với $F_1{F}_2=2c\left(c>0\right)$ và hằng số $a<c$.

Hypebol là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a$.

Kí hiệu $(H)$

Ta gọi: $F_1,F_2$ là tiêu điểm của $(H).$

Khoảng cách $F_1{F}_2=2c$ là tiêu cự của $(H).$

II. Phương trình chính tắc của Hypebol

Với $F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)$

$M\left(x;y\right)\in \left(H\right)\iff {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ với $b^2=c^2-a^2$ (2)

Phương trình $(2)$ được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

III. Các công thức Hypebol

1. Hình hyper tuyển

Hình Hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây với tâm có tọa độ là (h,k):

${\displaystyle \frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1}$

Phương trình chính tắc của đường hyperbol trong hệ tọa độ Descartes khi có tâm trùng với gốc tọa độ:

${\displaystyle \frac{{\left(x\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(y\right)}^2}{b^2}=1}$

Trong đó c² = a² + b² và 2c là tiêu cự

• Trục thực của hyperbol đi qua tâm của hình hyperbol và cắt các nhánh tại các đỉnh của mỗi nhánh. Các tiêu điểm cũng nằm trên đường thẳng chứa trục thực của hyperbol.

• Trục ảo vuông góc với trục thực tại tâm của hyperbol.

• Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên các đường tiệm cận và có hai cạnh là hai tiếp tuyến của hyberbol, độ dài của hai cạnh này bằng 2b đơn vị độ dài, hai cạnh còn lại song song với trục thực có độ dài bằng 2a đơn vị độ dài. Chú ý rằng b có thể lớn hơn a.

Tính khoảng cách từ một điểm bất kì tới hai tiêu điểm, hiệu hai giá trị này luôn luôn bằng 2a.

• Tâm sai được tính bằng công thức

${\displaystyle \epsilon =\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sec \left(\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\right)=\cosh \left(\mathrm{arsinh}\left(\frac{b}{a}\right)\right)}$

Nếu c bằng khoảng cách từ tâm cho đến mỗi tiêu điểm, ta có

${\displaystyle \epsilon =\frac{c}{a}}$trong đó.

Khoảng cách c được hiểu là nửa tiêu cự của hyperbol. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) bằng 2c hay 2aε.

• Tiêu điểm của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thức:và đối với đường hyperbol Bắc-Nam được xác định bởi công thức.

• Đường chuẩn của đường hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây được xác định bởi công thứcvà đối với đường hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam được xác định bởi công thức

2. Hình hyperbol đều

Đối với đường hyperbol đều có trục tọa song song với các đường tiệm cận:

Ví dụ đơn giản nhất của hình hyperbol đều

Hình hyperbol nằm theo hướng đông-tây:

Hình hyperbol nằm theo hướng bắc-nam:

Hình hyperbol nằm theo hướng Đông Bắc-Tây Nam:

Hình hyperbol nằm theo hướng Tây Bắc-Đông Nam

IV. Hình dạng và tính chất của Hypebol $(H)$

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái $F_1\left(-c;0\right)$, tiêu điểm phải $F_2\left(c;0\right)$

+ Các đỉnh: $A_1\left(-a;0\right),A_2\left(a;0\right)$

+ Trục $Ox$ gọi là trục thực, trục $Oy$ gọi là trục ảo của hypebol.

Khoảng cách $2a$ giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, $2b$ gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x=\pm a,y=\pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là $y=\pm {\displaystyle \frac{b}{a}}x$

+ Tâm sai: $e={\displaystyle \frac{c}{a}}>1$

+ $M\left(x_M;y_M\right)$ thuộc $(H)$ thì:

$M{F}_1=\left|a+e{x}_M\right|=\left|a+{\displaystyle \frac{c}{a}}{x}_M\right|,$ $M{F}_2=\left|a-e{x}_M\right|=\left|a-{\displaystyle \frac{c}{a}}{x}_M\right|$

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 7 $\Rightarrow a=3,c=\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{9+7}=4.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

Bài 2: Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của một hypebol vuông là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo nên a = b $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ Tâm sai e = $\frac{c}{a}=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}.$

Phương trình hai đường tiệm cận là: $y=-\frac{b}{a}x\iff y=-x$ và $y=\frac{b}{a}x\iff y=x.$

Bài 3: Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).

Lời giải:

Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);

t_A, t_B, t_C, t_D lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;

M là vị trí của tàu thuỷ.

a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:

MB – MC = v.t_B – v.t_C = v(t_B – t_C) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).

b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:

MA – MD = v.t_D – v.t_A = v(t_D – t_A) = 292000 . 0,001 = 292 (km).

c)

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₁) nhận B, C làm tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ (a₁ > 0, b₁ > 0).

Vì MB – MC = 146 nên 2a₁ = 146 $\Rightarrow$ a₁ = 73$\Rightarrow a_1^2$ = 5329.

Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₁ = 100

$\Rightarrow b_1^2=c_1^2-a_1^2$ = 100² – 73² = 4671.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₁) là $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{4671}=1.$

+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H₂) nhận A, D làm tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1$ (a₂ > 0, b₂ > 0).

Vì MA – MD = 29,2 nên 2a₂ = 292 $\Rightarrow$ a₂ = 146

Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c₂ = 300

$\Rightarrow b_2^2=c_2^2-a_2^2$ = 300² – 146² = 68684.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H₂) là $\frac{x^2}{21316}-\frac{y^2}{68684}=1.$

Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H₁) và (H₂) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{4671}=1\\ \frac{x^2}{21316}-\frac{y^2}{68684}=1\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{341125277}{12500}\\ y^2=\frac{240617223}{12500}\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\approx 165\\ y\approx 139\end{array}\right.$ (vì theo hình vẽ x, y > 0)

d) MB = $\sqrt{{\left[165-\left(-100\right)\right]}^2+{\left(139-0\right)}^2}$≈ 299 (km);

MC = $\sqrt{{\left(165-100\right)}^2+{\left(139-0\right)}^2}$≈ 153 (km).

Bài 4: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d₁ : $y=-\frac{b}{a}x$ hay bx + ay = 0 và d₂ : $y=\frac{b}{a}x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d₁) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$, d(M, d₂) = $\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$.

$\iff$ d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}.\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$$=\frac{\left|{\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2\right|}{a^2+b^2}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2{b}^2-a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=1 \end{gathered}$$

$\Rightarrow {\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2=a^2{b}^2$

Thay vào (*) ta được: d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left|a^2{b}^2\right|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng $2\sqrt{13}$, một đường tiệm cận là $y=\frac{2}{3}x$;

c) (H) có tâm sai $e=\sqrt{5}$, và đi qua điểm $(\sqrt{10};6)$.

Lời giải:

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4 $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y=\frac{2}{3}x$ $\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{b}{2}=\frac{a}{3}\Rightarrow \frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{9}$$=\frac{b^2+a^2}{4+9}=\frac{c^2}{13}=\frac{{\left(\sqrt{13}\right)}^2}{13}=1$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{b}^2=4\\ a^2=9\end{array}\right..$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai

+) Hypebol đi qua điểm $(\sqrt{10};6)$ $\Rightarrow$ $\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2}{a^2}-\frac{6^2}{b^2}=1$$\Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{36}{b^2}=1$ (2).

Thế (1) vào (2) ta được:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{36}{4a^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{10}{a^2}-\frac{9}{a^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a^2=1 \\ \Rightarrow b^2=4. \end{gathered}$$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1.$

Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$. Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.

Lời giải:

Có a² = 9, b² = 4 $\Rightarrow$ a = 3, b = 2, c = $\sqrt{a^2+b^2}$$=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–3; 0), A₂(3; 0).

Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.

Tâm sai e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}.$

Phương trình các đường chuẩn của hypebol là: ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-\frac{9}{\sqrt{13}},$ ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}\iff x=\frac{9}{\sqrt{13}}.$