Hai góc đối đỉnh là gì? Tính chất và cách giải các dạng bài tập về hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là gì? Tính chất và cách giải các dạng bài tập về hai góc đối đỉnh

1. Hai góc đối đỉnh là gì?

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Khi hai đường thẳng a và b cắt nhau, chúng tạo thành các cặp góc đối đỉnh như minh họa trong hình vẽ.

Còn có một cặp góc đối đỉnh khác:

Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo ra hai cặp góc đối đỉnh.

2. Tính chất của hai góc đối đỉnh

- Hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau

Chứng minh:

Ta chứng minh hai hóc O₁ và O₃ bằng nhau

Vì hai góc O₁ và O₂ kề bù nên $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}$ = 180 ° ( 1 )

Vì hai góc O₃ và O₂ kề bù nên $\widehat{O_3}+\widehat{O_2}$ = 180 ° ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}$ = $\widehat{O_3}+\widehat{O_2}$

Suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{O_3}$

*Lưu ý: Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh.

3. Các dạng bài tập về hai góc đối đỉnh

Dạng 1: Hoàn thành một câu phát biểu hoặc chọn câu trả lời đúng.

*Phương pháp giải:

- Liên hệ với các kiến thức lí thuyết tương ứng trong sách giáo khoa để điền vào chỗ trống cho đúng hoặc chọn câu phát biểu đúng.

- Dùng hình vẽ để bác bỏ câu sai.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Hãy điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau:

a) Hai góc có mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia được gọi là hai góc………………………………………………………………………...……

b) Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành…………………………………………….

Giải:

a) Hai góc có mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia được gọi là hai góc đối đỉnh.

b) Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành hai cặp góc đối đỉnh.

Dạng 2: Vẽ hình theo yêu cầu của đề bài rồi tìm cặp góc đối đỉnh hoặc không đối đỉnh.

*Phương pháp giải:

- Sử dụng thước thẳng, eke, thước đo độ để vẽ hình.

- Xét các cạnh của góc và các tia đối để tìm cặp góc đối đỉnh.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O, trong bốn góc tạo thành có một góc có số đo bằng 60⁰. Kể tên các cặp góc đối đỉnh.

Giải:

Cặp góc đối đỉnh thứ nhất là $\mathrm{(}\widehat{\mathrm{xOy}\mathrm{\text{'}}}\mathrm{,}\mathrm{ }\widehat{\mathrm{x}\mathrm{\text{'}}\mathrm{Oy}}\mathrm{)}$ (vì Ox và Ox’; Oy’ và Oy là các cặp tia đối nhau).

Cặp góc đối đỉnh thứ hai là $\left(\widehat{xOy},\widehat{x\text{'}Oy\text{'}}\right)$ (vì Ox và Ox’; Oy và Oy’ là các cặp tia đối nhau).

Dạng 3: Vẽ hình rồi tính số đo của góc.

*Phương pháp giải:

- Vẽ hình đúng theo yêu cầu của đề bài.

- Sử dụng các tính chất:

+ Hai góc bù nhau thì có tổng bằng 180o.

+ Hai góc kề bù thì bù nhau nên có tổng bằng 180o.

+ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Biết số đo góc $\widehat{AMD}={40}^0.$ Tính số đo các góc $\widehat{BMC}$ và $\widehat{BMD}$.

Giải:

Vì $\widehat{AMD}$ và $\widehat{BMC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AMD}=\widehat{BMC}={40}^o.$

Vì $\widehat{AMD}$ và $\widehat{BMD}$ là hai góc kề bù nên: $\widehat{AMD}+\widehat{BMD}={180}^o.$

$\Rightarrow \widehat{BMD}={180}^o-\widehat{AMD}={180}^o-{40}^o={140}^o.$

Vậy $\widehat{BMC}={40}^o;\widehat{BMD}={140}^o.$

Dạng 4: Tìm các cặp góc bằng nhau.

*Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Ba đường thẳng AB, CD, EF cắt nhau tại O như hình vẽ. Kể tên các cặp góc bằng nhau nhỏ hơn góc bẹt trên hình.

Giải:

Trên hình vẽ, ba đường thẳng AB, CD, EF cùng đi qua điểm O.

Tên các cặp góc bằng nhau nhỏ hơn góc bẹt trên hình là:

$\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{EOC}=\widehat{DOF}$ (đối đỉnh)

$\widehat{BOE}=\widehat{AOF}$ (đối đỉnh)

$\widehat{AOE}=\widehat{BOF}$ (đối đỉnh)

$\widehat{BOC}=\widehat{AOD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{DOE}=\widehat{COF}$ (đối đỉnh).

Dạng 5: Nhận biết hai tia đối nhau.

*Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Hai góc kề nhau có tổng các số đo bằng 180^o thì hai cạnh ngoài của chúng là hai tia đối nhau.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Gọi OM và ON theo thứ tự là tia phân giác của các góc $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOD}$. Vì sao các tia OM, ON là hai tia đối nhau?

Giải:

Ta có: $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=\widehat{AOB}={180}^o$ (kề bù) (1)

Vì OM, ON là tia phân giác của $\widehat{AOC},\widehat{BOD}$ và $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ (đối đỉnh)

Nên $\widehat{AOM}=\widehat{COM}=\widehat{BON}=\widehat{DON}=\frac{\widehat{AOC}}{2}=\frac{\widehat{BOD}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{COM}+\widehat{BON}=\frac{\widehat{AOC}}{2}+\frac{\widehat{AOC}}{2}=\widehat{AOC}$ (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \widehat{COM}+\widehat{BOC}+\widehat{BON}={180}^o.$

Khi đó $\widehat{MON}=180°$

Ta thấy hai tia OM, ON có đỉnh O và tạo với nhau một góc bằng 180^o.

Vậy OM và ON là hai tia đối nhau.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hãy chọn câu đúng. Hai góc đối đỉnh là:

A. Hai góc bằng nhau.

B. Hai góc có chung đỉnh.

C. Hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

D. Hai góc nằm trên hai nửa mặt phẳng khác phía.

Bài 2: Số đo của hai góc đối đỉnh tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau có mỗi quan hệ như thế nào:

A. Tổng số đo hai góc đối đỉnh bằng 360^o.

B. Hiệu số đo hai góc đối đỉnh bằng 180^o.

C. Hiệu số đo hai góc đối đỉnh bằng 0^o.

D. Tổng số đo hai góc nhọn đối đỉnh bằng 180^o.

Bài 3: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại A. Biết Hãy chọn câu sai:

A. $\widehat{xAy\text{'}}=\widehat{x\text{'}Ay}.$

B. $\frac{\widehat{xAy}}{2}+\frac{\widehat{x\text{'}Ay}}{2}={35}^o+{55}^o.$

C. $\widehat{x\text{'}Ay}={110}^o.$

D. $\widehat{xAy\text{'}}={140}^o.$

Bài 4:

a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Trên đường thẳng aa’ lấy điểm O. Vẽ tia Ot sao cho $\widehat{aOt}$ là góc tù. Trên nửa mặt phẳng bờ aa’ không chứa tia Ot, vẽ tia Ot’sao cho $\widehat{a\text{'}Ot\text{'}}$ là góc nhọn.

b) Dựa vào hình vẽ cho biết $\widehat{aOt}$ và $\widehat{a\text{'}Ot\text{'}}$ có phải là cặp góc đối đỉnh hay không? Vì sao?

Bài 5: Số đo của góc tại dấu hỏi chấm “?” trong hình vẽ là:

Bài 6: Cho hình vẽ sau, tính số đo các góc $\widehat{EOD};\widehat{BOE};\widehat{AOD}.$

Bài 7: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O. Biết hiệu số đo của hai góc kề bù là 40⁰ và $\widehat{xOy}>\widehat{x\text{'}Oy}.$ Tính số đo của các góc:

a) $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x\text{'}Oy}\text{'}.$

b) $\widehat{x\text{'}Oy}$ và $\widehat{xOy\text{'}}.$

Bài 8: Cho hai đường thẳng AB’ và A’B cắt nhau tại O. Gọi Ox là tia phân giác của $\widehat{AOB}$, Ox’ là tia đối của tia Ox. Vì sao Ox’ là tia phân giác $\widehat{A\text{'}OB\text{'}}$?

Bài 9: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Biết $\widehat{AMD}+\widehat{BMC}={150}^0.$ Tính số đo các góc còn lại.

Bài 10: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O. Tính số đo mỗi góc tạo thành, biết tỉ số của hai góc kề bù là $\frac{5}{4}$ và $\widehat{xOy}>\widehat{x\text{'}Oy}.$

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án: C (theo định nghĩa hai góc đối đỉnh).

Bài 2: Đáp án: C (vì hai góc đối đỉnh thì bằng nhau).

Bài 3: Đáp án: D

Vì $\widehat{xAy}$ và $\widehat{xAy\text{'}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{xAy}+\widehat{xAy\text{'}}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{xAy\text{'}}={180}^o-\widehat{xAy}={180}^o-{70}^o={110}^o.$

Bài 4:

a)

b) $\widehat{aOt}$ và $\widehat{a\text{'}Ot\text{'}}$ không phải là hai góc đối đỉnh.

Vì giả sử hai góc này đối đỉnh, vậy thì $\widehat{aOt}=\widehat{a\text{'}Ot\text{'}}.$

Mà góc aOt là góc tù, còn a’Ot’ là là góc nhọn (theo đề bài). Do đó giả sử là sai. Vậy hai góc $\widehat{aOt}$ và $\widehat{a\text{'}Ot\text{'}}$ không đối đỉnh.

Bài 5:

Vì $\widehat{AOE}$ và $\widehat{BOD}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AOE}=\widehat{BOD}={82}^o$.

Vậy số đo góc cần tìm là 82^o.

Bài 6:

Ta thấy: $\widehat{EOD}$ và $\widehat{AOB}$ là hai góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat{EOD}={40}^o.$

Mà: $\widehat{BOE}+\widehat{BOA}={180}^o\Rightarrow \widehat{BOE}={180}^o-{40}^o={140}^o.$

$\Rightarrow \widehat{BOE}=\widehat{AOD}={140}^o.$

Bài 7:

Ta có: $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x\text{'}Oy}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{xOy}+\widehat{x\text{'}Oy}={180}^o.$

Mà $\widehat{xOy}>\widehat{x\text{'}Oy}$ nên $\widehat{xOy}-\widehat{x\text{'}Oy}={40}^o.$

$\Rightarrow \widehat{xOy}=\left({180}^o+{40}^o\right):2={110}^o;\widehat{x\text{'}Oy}={180}^o-{110}^o={70}^o.$

a) $\widehat{xOy}=\widehat{x\text{'}Oy}\text{'}={110}^o$.

b) $\widehat{x\text{'}Oy}=\widehat{xOy}\text{'}={70}^o.$

Bài 8:

Ta có: $\widehat{AOx}=\widehat{A\text{'}Ox\text{'}}$ (đối đỉnh)

$\widehat{BOx}=\widehat{B\text{'}Ox\text{'}}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat{AOx}=\widehat{BOx}$ (Ox là tia phân giác ).

Do đó: $\widehat{A\text{'}Ox\text{'}}=\widehat{B\text{'}Ox\text{'}}$

Vậy Ox’ là tia phân giác $\widehat{A\text{'}OB\text{'}}.$

Bài 9: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Biết $\widehat{AMD}+\widehat{BMC}={150}^o.$ Tính số đo các góc còn lại.

Ta có: $\widehat{AMD}+\widehat{BMC}={150}^o.$

Mà $\widehat{AMD}=\widehat{BMC}\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{BMC}={150}^o:2={75}^o.$

Mà: $\widehat{AMC}+\widehat{AMD}={180}^o.$

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}={105}^o.$

Bài 10: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O. Tính số đo mỗi góc tạo thành, biết tỉ số của hai góc kề bù là $\frac{5}{4}$ và $\widehat{xOy}>\widehat{x\text{'}Oy}.$

Ta có: $\widehat{xOy}+\widehat{x\text{'}Oy}={180}^o$ và $\frac{\widehat{xOy}}{\widehat{x\text{'}Oy}}=\frac{5}{4}$

Nên $\widehat{xOy}={180}^o:\left(5+4\right)\times 5={100}^o;\widehat{xOy\text{'}}={180}^o-{100}^o={80}^o.$

Vậy $\widehat{xOy}=\widehat{x\text{'}Oy\text{'}}={100}^o$.

$\widehat{x\text{'}Oy}=\widehat{xOy\text{'}}={80}^o$.