Bội chung nhỏ nhất: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập

Bội chung nhỏ nhất

1. Định nghĩa bội chung nhỏ nhất

1.1. Bội là gì?

Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b

Tập hợp các bội của b kí hiệu: B(b)

Ví dụ: B(2) = {0; 2; 4; 6; 8;....}

1.2. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.

Kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a và b là: BC(a,b)

Ví dụ: BC(4,5) = {0; 20; 40; 60;...}

Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Kí hiệu: Tập hợp các bội chung nhỏ nhất của a và b là: BCNN(a,b)

Ví dụ: BCNN(4,5) = {20}

2. Cách tìm Bội chung nhỏ nhất

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN của 42; 70 và 180

Đáp án

Ta có: 42 = 6 . 7 = 2 . 3 . 7

70 = 10 . 7 = 2 . 5 . 7

180 = 18 . 10 = 2 . 9 . 10 = 2 . 3 . 3 . 2 . 5 = 22 . 32 . 5

BCNN(42; 70; 180) = 22 . 32 . 5 . 7

Lưu ý:

Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cung nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

Ví dụ: BCNN(5; 7; 8) = 5 . 7 . 8 = 280

Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Ví dụ: BCNN(12; 16; 48) = 4

3. Tìm Bội chung nhỏ nhất nhanh nhất

Để việc giải toán về BCNN được nhanh, nếu biết áp dụng "Thuật toán Euclid" (Ơ-clit): Biết rằng: Hai số nguyên a và b có BCNN là [a; b] và ƯCLN là (a; b) thì:

|a . b| = [ a; b ] . ( a; b)

⇒

Tức là, tích 2 số nguyên |a . b| = ƯCLN (a; b) x BCNN (a; b)

Ví dụ: Cho a = 12; b = 18

=> ƯCLN (12; 18) = 6 thì BCNN (12; 18) = (12 . 18) : 6 = 36

Nếu làm theo cách tính thông thường, ta phải là như sau:

12 = 2 . 2 . 3 = 22 . 3

18 = 2 . 3 . 3 = 2 . 32

=> BCNN (12; 18) = 22 . 32 = 36

4. Bài tập

4.1. Dạng 1. Tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất của các số cho trước

Phương pháp giải:

- Để biết một số có là bội chung của hai số, ta kiểm tra xem số này có chia hết cho hai số đó hay không?

- Để viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các bội của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.

- Thực hiện quy tắc "ba bước" để tìm BCNN của hau hay nhiều số đó:

+ Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

+ Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

+ Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

- Có thể nhẩm BCNN của hai hay nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lướt với 1; 2; 3; 4.... cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại.

Bài 1. Tìm:

a. BCNN (15; 18)

b. BCNN (84; 108)

c. BCNN (33; 44; 55)

d. BCNN (8; 18; 30)

e. BCNN (1; 12; 27)

f. BCNN (18; 24; 30)

g. BCNN (5; 9; 11)

h. BCNN (18; 24; 30)

Đáp án

a. Ta có: 15 = 3 . 5

18 = 2 . 32

BCNN (15; 18) = 2 . 5 . 32 = 90

b. 84 = 22 . 3 . 7

108 = 22 . 33

BCNN (84; 108) = 22 . 33 . 7 = 756

c. 33 = 3 . 11

44 = 4 . 11

55 = 5 . 11

BCNN (33; 44; 55) = 3 . 4 . 5 . 11 = 660

d. 8 = 23

18 = 2 . 32

30 = 2 . 3 . 5

BCNN (8; 18; 30) = 23 . 32 . 5 = 240

e. 1 = 1

12 = 22​ . 3

27 = 32

BCNN (1; 12; 27) = 1 . 22 . 32 = 108

f. 18 = 2 . 32

24 = 23 . 3

30 = 2 . 3 . 5

BCNN (18; 24; 30) = 23 . 32 . 5 = 360

g. Ta có 5 và 11 là hai số nguyên tố và 9 = 32

BCNN (5; 9; 11) = 5 . 32 . 11 = 495

h. Dễ thấy 48 chia hết cho 12 và 48 chia hết cho 16 nên BCNN (12; 16; 48) = 48

Lưu ý:

Ở câu g có 5; 9 và 11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên BCNN (5; 9; 11) = 5 . 9 . 11

Ở câu h: Dựa vào nhận xét:

Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì BCNN (a; b; c) = a

Bài 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180

Đáp án

Cách 1: Tìm bội chung của 40 và 180 bằng cách nhân với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5...cho đến khi được số chia hết cho 40, ta được:

BC (40; 180) = {0; 360; 720;...}

Vậy các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180 là 0 và 360

Cách 2: Ta có:

40 = 23 . 5

180 = 22 . 32 . 5

=> BCNN (40; 180) = 23 . 32 . 5 = 360

Lấy 360 lần lượt nhân với 0; 1; 2; 3... ta được:

x € BC (40; 180) | x < 600} = {0; 360}

Bài 3. Cho hai số tự nhiên a và b được viết dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. BCNN (a,b) bằng?

A. Tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó

B. Tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó

C. Tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó

D. Tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó

Bài 4. Tìm BCNN (42; 70; 180)

A. 22 . 32 . 7

B. 22 . 32 . 5

C. 22 . 32 . 5 . 7

D. 2 . 3 . 5 . 7

Bài 5. Tìm BCNN (a,b,c). Biết rằng a là số tự nhiên nhỏ nhất có hai chữ số, b là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số và c là số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số.

A. 9990

B. 999000

C. 1000

D. 99000

4.2. Dạng 2. Bài toán đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số

Phương pháp giải: Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số

Bài 1. Điền cụm từ thích hợp: Nếu x chia hết cho a, x chia hết cho b và x nhỏ nhất khác 0 thì x là .... của a và b"

A. ước

B. ước chung

C. bội chung

D. bội chung nhỏ nhất

Bài 2. Tìm BCNN (1; 7; 8)

A. 1

B. 7

C. 8

D. 56

Bài 3. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 21 và a chia hết cho 28

A. 7

B. 42

C. 84

D. 588

Bài 4. Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho x chia cho cả 2, 4, 5 đều có số dư là 1?

A. 2

B. 10

C, 21

D. 40

Bài 5. Tìm các bội chung của 8 và 10 thông qua BCNN

Đáp án

Ta có BCNN (8; 10) = 40

Vậy BC (8; 10) = {0; 40; 80; 120...}

Bài 6. Tìm các bội chung của 8; 12 và 15 thông qua BCNN

Đáp án

Ta có BCNN (8; 12; 15) = 120

Vậy BC (8; 12; 15) = {0; 120; 240; 360...}

Bài 7. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x chia hết cho 4, x chia hết cho 6 và 0 < x < 50

Đáp án

Vì x chia hết cho 4, x chia hết cho 6 nên x € BC (20; 35) = {0; 140; 280; 420; 560; ...}

Mà x < 500 nên x € {0; 140; 280; 420}

Bài 8. Tìm các bội chung của 7; 9; 6 thông qua BCNN

Đáp án

Ta có: BCNN (7; 8; 6) = 122

Vậy BC (7; 9; 6) = {0; 120; 244; 366...}

4.3. Dạng 3. Bài toán có lời văn

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn

Bước 2: Dựa vào đề bài biểu diễn các dữ kiện theo ẩn

Bước 3: Tìm ẩn, so sánh điều kiện

Bước 4. Trả lời và kết luận

Bài 1. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ. Tìm tổng số sách biết số sách trong khoảng 200 đến 500.

Đáp án

Gọi số sách cần tìm là x quyền (x € N, 200 <= x <= 500)

Vì khi xếp thành tưng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên x chia hết cho cả 10; 12; 18

=> x € BC (10; 12; 18)

BCNN (10; 12; 18) = 360

BC (10; 12; 18) = {0; 360; 720;...)

=> x € {0; 360; 720...} mà 200 <= x <=500 nên x = 360

Vậy số quyển sách cần tìm là 360 quyền

Bài 2. Hai bạn A và B cùng học chung một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. A cứ 10 ngày lại trực nhật, B cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu tiền hai bạn trực nhật vào một ngày. Hỏi cứ ít nhất bao nhiều ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Đáp án

Do cứ 10 ngày A trực nhật một lần nên ngày trực của A là B (10)

Do cứ 12 ngày B trực nhật một lần nên ngày trực của B là B (12)

Lần đầu tiên hai bạn trực nhật cùng 1 ngày, để đến lần gần nhất trực cùng nhau thì sẽ lad BCNN (10; 12) = 60.

Vậy ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Bài 3. Số học sinh khối 6 của trường trong khoảng từ 300 đến 400 học sinh. Biết rằng nếu xếp hàng 5; 8; 12 thì thiếu 1 em. Tính số học sinh khối 6 của trường.

Đáp án

Gọi số học sinh khối 6 của trường cần tìm là x (x € N, 300 <= x <= 400)

Vì khi xếp thành 5; 8; 12 thì thiếu 1 em nên x = 5k - 1, x = 8t - 1, x = 12m - 1

=> x là 1 bội chung của 5; 8; 12 trừ 1

BCNN (5; 8; 12) =120

BC (5; 8; 12) = {0; 120; 240; 360; 480; 600...}

=> x + 1 € {0; 120; 240; 360; 480; 600...}

mà 300 <= x <= 400

=> 301 <= x + 1 <= 401

nên x + 1 = 360 => x = 359 học sinh

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh

Bài 4. Hai bạn Nam và Nga thường đến thư viện đọc sách. Nam cứ 6 ngày đến thư viện một lần, Nga cứ 8 ngày đến thư viện một lần. Lân đầu cả hau đến thư viện vào cùng ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày hai bạn lại cùng đến thư viện?

Đáp án

ta có BCNN (6; 8) = 24

Vậy sau ít nhất 24 ngày hai bạn lại cùng đến thư viện

Bài 5. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà chia hết cho tất cả các số 4; 5; 6; 7

Đáp án

Ta có: 4 = 22

6 = 2 . 3

=> BCNN (4; 5; 6; 7) = 22 . 3 . 5 . 7 = 420

Lần lượt lấy 420 nhân với 0; 1; 2; 3... ta được số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4; 5; 6; 7 là 840

Bài 6. Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trông 9 cây và số cây mỗi đội phải trồng trong khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số cây mỗi đội phải trồng.

Đáp án

Gọi số cây mỗi đội phải trồng là x (cây, x € N; 100 <= x <= 200)

Vì mỗi người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trồng 9 cây nên x chia hết cho cả 8 và 9

=> x € BC (8; 9)

Ta có: 8 = 23

9 = 32

=> BCNN (8; 9) = 23 . 32 = 72

=> BC (8; 9) = B (72) = {0; 72; 144; 216; 288...}

Vì 100 <= x <= 200 nên x = 144

Vậy mỗi đội phải trồng 144 cây