Khái quát về lược đồ Hoocne. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức

Với tài liệu về Khái quát về lược đồ Hoocne. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

1 1,045 07/01/2024

Trang trước

Trang sau

Khái quát về lược đồ Hoocne. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức

I. Lý thuyết

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử.

Sơ đồ hoocne bản chất là một thuật toán được biểu diễn dưới dạng sơ đồ, cho phép chúng ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức f(x) bất kỳ cho đa thức x−c, với c là một số thực bất kỳ.

II. Cách sử dụng lược đồ Hoocne

Sơ đồ Horner (Hoocne) dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$ cho đa thức $x - \alpha$ , khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức

$f\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n}$

Khi đó đa thức thương $g\left( x \right) = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}$ và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Khái quát về lược đồ Hoocne. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức (ảnh 1)

Ta được cách làm theo các bước như sau:

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức $f\left( x \right)$ theo ẩn giảm dần và đặt số $\alpha$ vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.

Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số ${a_0}$ ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của $g\left( x \right)$ tìm được, tức là ${b_0}$ .

Bước 3: Lấy số $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số ${b_1}$ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy $\alpha$ nhân với hệ số ${b_0}$ sau đó cộng với hệ số ${a_1}$ ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số ${b_2}$ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy $\alpha$ nhân với hệ số ${b_1}$ sau đó cộng với hệ số ${a_2}$ ở hàng trên,….)

Quy tắc nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.

Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có

$f\left( x \right) = \left( {x - \alpha } \right).g\left( x \right) + r$

hay

${a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n} = \left( {x - \alpha } \right)\left( {{b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}} \right) + r$

* Chú ý:

+ Bậc của đa thức $g\left( x \right)$ luôn nhỏ hơn bậc của đa thức $f\left( x \right)$ 1 đơn vị vì đa thức chia $x - \alpha$ có bậc là 1.

+ Nếu $r = 0$ thì đa thức $f\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $g\left( x \right)$ và $x = \alpha$ sẽ là một nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ . Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được $\alpha$ , ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức $f\left( x \right)$ , $\alpha$ chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ .

Lời giải:

Lưu ý rằng: nếu chia cho đa thức $x + 3$ thì $\alpha = 3$ , còn nếu chia cho đa thức $x + 3$ thì $\alpha = - 3$

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Khái quát về lược đồ Hoocne. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức (ảnh 1)

Đa thức $g\left( x \right)$ tìm được ở đây chính là:

$g\left( x \right) = 1.{x^3} + \left( { - 5} \right).{x^2} + 12.x + \left( { - 29} \right)$ và $r = 85$

Vậy khi chia đa thức $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ ta được:

$f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^3} - 5{x^2} + 12x - 29} \right) + 85$

* Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình $2{x^3} - {x^2} - 5x - 2 = 0$ .

Lời giải:

Với phương trình này, khi ta bấm máy tính để tính nghiệm sẽ được 3 nghiệm của phương trình này là $x = - 1;x = 2;x = - \frac{1}{2}$ .

Tuy nhiên, trong trình bày bài toán ta không thể viết “Theo máy tính ta được nghiệm của phương trình là….” mà ta sẽ đi phân tích đa thức $f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} - 5x - 2$ thành nhân tử.

Việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được ít nhất 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để biến đổi.

Phương trình trên có một nghiệm nguyên $x = - 1$ thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức $f\left( x \right)$ cho đa thức $x + 1$ .

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Khái quát về lược đồ Hoocne. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức (ảnh 1)

Vậy khi chia đa thức $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ ta được:

$f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right)$

Việc thực hiện sơ đồ Hoocne ta chỉ nên thực hiện trong nháp. Khi trình bày ta sẽ trình bày như sau:

$2{x^3} - {x^2} - 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{{ - 1}}{2}\\ x = 2 \end{array} \right.$