Cho $\text{Δ}ABC$ nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại Y và X. Kẻ đường kính AK của (O), HK cắt (O) tại P.

a) Chứng minh: tứ giác APFE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: PB.PE = PC.PF.

c) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, MX và MY cắt AB, AC lần lượt tại I và J. Chứng minh: H, I, J thẳng hàng.

Bánh xe đạp bơm căng có đường kính là 73 cm

Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi vào ngân hàng 2 000 000 đồng với lãi suất 0,65%/tháng và không rút gốc, lãi tháng trước. Sau 3 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?

Để ước tính chiều cao tối đa của trẻ em khi đạt đến độ trưởng thành, hoàn toàn có thể dựa vào chiều cao của bố mẹ. Cách tính chiều cao của con theo bố mẹ được các chuyên gia đánh giá cao bởi thực tế, sự di truyền các thế hệ có ảnh hưởng nhất định đến chiều cao của trẻ. Ta có công thức tính như sau: $C=\left(B+M+13A\right):2$.

Trong đó: A là chiều cao của người con (cm);

               B là chiều cao của người bố (cm);

               M là chiều cao của người mẹ (cm);

               A = 1 khi người con có giới tính là Nam;

               A = -1 khi người con có giới tính là Nữ.

a) Em hãy dùng công thức trên để tìm chiều cao tối đa của bạn Nam (giới tính là nam) biết ba của bạn Nam có chiều cao là 175 cm và mẹ của bạn Nam có chiều cao là 168 cm

b) Bạn Hương (giới tính là nữ) có chiều cao là 164 cm Em hãy tính xem chiều cao tối đa của mẹ bạn Hương khi biết chiều cao của ba bạn Hương là 180 cm

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -x + 2.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Cho $\text{Δ}ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H, tia AK cắt (O) tại Q. Gọi N là trung điểm của BC, F là trung điểm AH. Kẻ đường kính AG của (O), đường thẳng qua Q song song với ED cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là T (T khác Q. Gọi J là giao điểm của NF và ED.

a) Chứng minh: BEDC và AEHD là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: $FD\perp ND$. Từ đó suy ra ND = NJ² .NF.

c) Đường tròn đường kính AH cắt (O) tại giao điểm thứ hai là M (M khác A. Chứng minh: ND² = NH.NM và M, J, T thẳng hàng.

b) Bác Năm dùng hai xô nước để lấy nước từ một hồ để sử dụng trong sinh hoạt và trồng trọt. Gia đình bác sử dụng trung bình mỗi ngày 150 lít nước. Hỏi bác Năm cần phải lấy ít nhất bao nhiêu lần mỗi ngày (mỗi lần xách 2 xô) để phục vụ cho sinh hoạt và trồng trọt biết rằng mỗi khi xách nước về thì lượng nước bị hao hụt khoảng 5%.

Còn một tuần nữa sẽ đến ngày 20/11, các bạn học sinh lớp 9A đăng kí thi đua hoa điểm 10 với mong muốn đạt thật nhiều điểm 10 để tặng thầy cô giáo. Đến ngày 19/11, lớp trưởng tổng kết số điểm 10 của các bạn trong lớp và được như sau:

• Không có bạn nào trong lớp không có điểm 10 trong tuần vừa qua.

• Có 20 bạn có ít nhất là 2 điểm 10.

• Có 10 bạn có ít nhất là 3 điểm 10.

• Có 5 bạn có ít nhất là 4 điểm 10.

• Không có ai có nhiều hơn 4 điểm 10.

Hỏi lớp 9A có bao nhiêu điểm 10 tuần vừa qua? Biết rằng lớp 9A có 35 học sinh.

Một vật rơi tự do từ độ cao 150 cm so với mặt đất. Bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi sau thời gian t (giây) được biểu diễn gần đúng bởi công thức: s = 5t².

a) Sau 3 giây (tính từ lúc bắt đầu rơi) vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Tính quãng đường đi được của vật đó trong giây thứ 4 .

Nhân dịp Tết Nguyên đán, một cửa hàng bán đồ dùng thể thao có chương trình giảm giá toàn bộ sản phẩm trong cửa hang như sau: Một áo thể thao giảm 10%, một quần thể thao giảm 20%, một đôi giày thể thao giảm 30%. Đặc biệt nếu mua đủ 3 sản phẩm bao gồm 1 quần, 1 áo, 1 đôi giày thì sẽ được giảm tiếp 5% trên giá đã giảm. Bạn An vào cửa hàng này và mua 3 áo với giá 300 000 đồng/ cái, 2 quần với giá 250 000 đồng/ cái và 1 đôi giày với giá 1 000 000 đồng/ đôi (giá trên là giá chưa giảm). Vậy số tiền bạn An phải trả là bao nhiêu?

Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^2$ có đồ thị (P) và hàm số $y=\frac{-1}{2}x+2$ có đồ thị là đường thẳng (d).

a) Vẽ các đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O), đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK, vẽ BF vuông góc với AK tại F.

a) Chứng minh năm điểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh M, H, K thẳng hàng.

c) Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh D đối xứng với F qua IM.

Một cửa hàng bán hoa niêm yết giá 1 bông hồng là 15 000 đồng. Nếu khách hàng mua 10 bông trở lên thì từ bông thứ 10 mỗi bông giảm 10% trên giá niêm yết. Nếu mua 20 bông trở lê thì từ bông thứ 20 được giảm thêm 5% trên giá đã giảm. Nếu mua nhiều hơn 50 bông thì được giảm thêm 2% trên tổng hóa đơn.

a) Nếu mua 60 bông thì phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn đến hàng nghìn).

b) Ông A đã mua một số bông và trả 334 125 đồng. Hãy tính số bông ông đã mua.

Một chi tiết xây dựng bằng bê tông có kích thước như hình vẽ bên, gồm:

– Phía trên là một hình trụ có chiều cao 2m đường kính đáy 0,5m 

– Phía dưới là nửa hình cầu có đường kính 0,5m

Một buổi liên hoan lớp cô giáo định chia một số kẹo thành các phần quà cho các em học sinh. Nếu mỗi phần giảm đi 6 viên thì các em có thêm 5 phần quà, nếu giảm đi 10 viên thì các em có thêm 10 phần quà. Hỏi tổng số kẹo là bao nhiêu viên?

Do các hoạt động công nghiệp thiếu kiểm soát của con người làm cho nhiệt độ trái đất tăng dần một cách rất đáng lo ngại. Các nhà khoa học đã đưa ra công thức dự báo nhiệt độ trung bình trên bề mặt trái đất như sau: T = at + b. Trong đó T là nhiệt độ trung bình của bề mặt trái đất tính theo độ C; t là số năm kể từ năm 1950. Vào năm 1950, người ta khảo sát thấy nhiệt độ trái đất là 15^oC và sau 30 năm khảo sát các nhà khoa học đã thấy nhiệt độ trái đất đã tăng 0,6^oC. Xác định hệ số a, b.

Để xác định ngày n, tháng t, năm K rơi vào thứ mấy, ta tính theo quy tắc sau:

$M=\left(K-1\right).365+$ thương của $\left(\frac{K-1}{4}\right)+C$.

Trong đó, K là số năm, C là số ngày tính từ ngày đầu tiên của năm K tới ngày n, tháng t, năm K

Sau đó, lấy M chia cho 7 ta được số dư r và tra bảng sau:

Ví dụ: Ngày 1/6/2000 biết năm 2000 là năm nhuận

$C=31+29+31+30+31+1=153$

Thương của $\left(2000-1\right)$ chia 4 là 499.

$M=\left(2000-1\right)\cdot 365+499+153=730287$

Vì 730287 : 7 dư 5 nên ngày 1/6/2000 là thứ năm.

a) Em hãy cho biết ngày 15/4/2021 là ngày thứ mấy? Biết năm 2021 không phải năm nhuận.

b) Nếu ngày 12 của tháng t thuộc nửa đầu năm 2021 rơi vào thứ hai. Em hãy cho biết đó là tháng nào?

Cho phương trình: x² - 4x - 5 = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A=2{\left(x_1-x_2\right)}^2+3x_1{x}_2$.

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x - 1.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.

Cho $\text{Δ}ABC$ nội tiếp trong đường tròn (O;R). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AK của (O). Chứng minh AB.AC = 2R.AD.

c) Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm EF và BC. Chứng minh tứ giác EFDM nội tiếp và IB.IC = ID.IM.

Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao 4cm được đặt đứng trên mặt bàn. Một phần của khối gỗ bị cắt rời theo các bán kính OA, OB và theo chiều dài thẳng đứng từ trên xuống dưới với $\widehat{AOB}=30°$ như hình vẽ bên.

b) Diện tích toàn phần của khối gỗ còn lại sau khi đã bị cắt.

Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn đường kính 1,2m. Người ta muốn nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm vào giữa một mặt hình chữ nhật có 1 kích thước là 1,2m như hình vẽ dưới.

a) Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiêu để diện tích mặt bàn tăng gấp ba sau khi nới?

b) Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiêu để chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới?

Có 2 đội công nhân cùng làm 1 công trình. Lần thứ nhất: đội 1 làm trong 6 ngày, đội 2 làm trong 4 ngày thì xong công trình. Lần thứ hai: đội 1 làm trong 4 ngày, đội 2 làm trong 8 ngày thì xong công trình. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội công nhân làm trong bao lâu hoàn thành công trình?

Cho phương trình: 2x² - x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x₁ , x₂ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A=x_1^2+x_2^2-x_1^2{x}_2^2-2024$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = x + 2

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O) (A và B là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO và AB. Qua M vẽ cát tuyến MCD của đường tròn (O) (C và D thuộc đường tròn (O)) sao cho đường thẳng MD cắt đoạn thẳng HB. Gọi I là trung điểm dây cung CD.

a) Chứng minh $OI\perp CD$ tại và tứ giác MAOI nội tiếp.

b) Chứng minh $M{A}^2=MC.MD$ và tứ giác OHCD nội tiếp.

c) Trên cung nhỏ AD lấy điểm N sao cho DN = DB. Qua C vẽ đường thẳng song song với DN cắt đường thẳng MN tại E và cũng qua C vẽ đường thẳng song song với BD cắt cạnh AB tại F. Chứng minh: Tam giác CEF cân.

Chú Hòa muốn xây một bể nước bê tông hình trụ có chiều cao là 1,6m; bán kính lòng bể (tính tù tâm bể đến mép trong của bể) là r = 1m, bề dày của thành bể là 10 cm và bề dày của đáy bể là 5 cm.

Hỏi:

a) Bể có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước (biết thể tích hình trụ bằng $V=\pi .r^2\text{.}h$ với r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; $\pi \approx 3,14$)?

b) Được biết 1 khối bê tông cần: 5 bao xi măng loại 50kg/ 1 bao, $0,5{\text{ m}}^3$ cát, $0,9{\text{ m}}^3$ đá, $185$ lít nước. Hỏi chú hòa cần bao nhiêu kg xi măng? Bao nhiêu m³ cát và bao nhiêu lít nước để xây bể? (các kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Hai người A và B cùng ở một phía và cách thành phố Hồ Chí Minh 50km. Cả hai người cùng nhau đi trên một con đường về phía ngược hướng với thành phố, người A đi với vận tốc trung bình là 60km/h và người B đi với vận tốc trung bình là 50km/h. Gọi d(km) là khoảng cách từ thành phố Hồ Chí Minh đến hai người A, B sau khi đi được t (giờ).

a) Lập hàm số của d theo t đối với mỗi người.

b) Hỏi nếu hai người xuất phát cùng một lúc thì vào thời điểm nào kể từ lúc xuất phát, khoảng cách giữa hai người là 20km.

Công ty FPA cung cấp dịch vụ Internet với mức chi phí ban đầu là 400 000 đồng và chi phí trả hàng tháng là 272 000 đồng. Công ty VNPB cung cấp dịch vụ Internet không tính chi phí ban đầu, nhưng chi phí trả hàng tháng là 320 000 đồng. Anh Minh đã đăng ký dịch vụ Internet của công ty FPA, hỏi anh Minh phải sử dụng dịch vụ Internet của công ty FPA ít nhất trong bao nhiêu tháng thì tổng chi phí sử dụng sẽ rẻ hơn sử dụng của công ty VNPB.

Anh An làm việc cho một công ty sản xuất hàng cao cấp, anh được trả năm triệu bảy trăm sáu mươi ngàn đồng cho 48 tiếng làm việc trong một tuần. Sau đó để tăng thêm thu nhập, anh An đã đăng ký làm thêm một số giờ nửa trong tuần, mỗi giờ làm thêm này anh An được trả bằng 150% số tiền mà mỗi giờ anh An được trả trong 48 giờ đầu. Cuối tuần sau khi xong việc, anh An được lãnh số tiền là bảy triệu hai trăm ngàn đồng. Hỏi anh An đã làm thêm bao nhiêu giờ trong tuần đó?

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = x + 2.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.