Kiểm tra tính liên thông của đơn đồ thị vô hướng

Một đơn đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu hai đinh bất kì của đồ thị đều có đường đi tới nhau.

Bài toán kiểm tra tính liên thông của đơn đồ thị vô hướng xuất hiện nhiều trong nghiên cứu lí thuyết cũng như ứng dụng trong cuộc sống, sau đây là một ví dụ cụ thể:

Có địa điểm được đánh số từ 0 đến n - 1, có m tuyến xe buýt hai chiều giữa các địa điểm, tuyển thứ k sẽ di chuyển giữa hai địa điểm i_k, và j_k, Em hãy kiểm tra xem từ một địa điểm bất kì có thể tới được các địa điểm còn lại bằng cách chỉ sử dụng m tuyển xe buýt hay không.

Tìm đường đi ngắn nhất trên đơn đồ thị có hướng

Một dãy đỉnh a = i₀, i₁,..., i_s = b (a ≠ b) được gọi là đường đi từ đinh a tới đỉnh b nếu hai đỉnh liên tiếp trên đường đi có cạnh nối.

Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều bài toán liên quan đến tìm đường đi, dưới đây là một ví dụ cụ thể.

Có n sân bay được đánh số từ 0 đến n - 1, có m tuyến bay giữa các sân bay, tuyến thứ k sẽ bay từ sân bay i, sang sân bay j .Em hãy tìm cách di chuyển từ sân bay a tới sân bay b với số tuyến bay là ít nhất.

Bài toán Tìm đường đi trong mê cung 

Nam đang chơi trò chơi tìm đường đi trong mê cung như trong Hình 5. Dùng thuật toán duyệt đồ thị theo chiều sâu đề kiểm tra: Nam có thể đi vào mê cung từ góc trái trên và ra khỏi mê cung ở góc phải dưới hay không ?

Phân nhóm người nghi nhiễm Covid-19

Một nhóm gồm 7 người được đánh số từ 0 đến 6, có một số cặp người thường xuyên tiếp xúc trao đổi với nhau được mô tả như trong Hình 1. Một ngày, người 0 xét nghiệm và được xác định là bị nhiễm COVID-19, người ta cần phân 7 người thành các nhóm, người 0 sẽ thuộc nhóm FO, những người tiếp xúc với người ở nhóm FO sẽ được xếp vào nhóm F1, những người tiếp xúc với người ở nhóm 1-1 sẽ được xếp vào nhóm 12,....

Trong các câu sau đây, những câu nào đúng khi nói về duyệt đồ thị?

a) Duyệt đồ thị theo chiều sâu giúp ta xác định các đỉnh có thể tới được từ một đinh bất kì.

b) Duyệt đồ thị theo chiều rộng không thể giúp ta xác định các đỉnh có thể tới được từ một đỉnh bất kì.

c) Thứ tự thăm các đỉnh khi thực hiện cách duyệt đồ thị theo chiều rộng và theo chiều sâu sẽ giống hệt nhau.

d) Để duyệt đồ thị theo chiều rộng chúng ta sử dụng hàng đợi, thăm các đỉnh theo nguyên tắc vào trước ra trước.

c) Để duyệt đồ thị theo chiều sâu chúng ta sử dụng ngăn xếp, thăm các đinh theo nguyên tắc vào sau ra trước.

Với các thông tin về tuyến xe buýt giữa các địa điểm được biểu diễn bằng ma trận kể như Hình 13. Em áp dụng thuật toán duyệt theo chiều rộng hoặc theo chiều sâu để chỉ ra các địa điểm có thế đến được nếu xuất phát địa điểm 0 và chỉ sử dụng các tuyến xe buýt này.

Có 5 bạn A, B, C, D và E, biết rằng A có số điện thoại của C và D, do đó A có thể liên lạc với C, D; tương tự B có số điện thoại của A; C có số điện thoại của B; D có số điện thoại của C; E có số điện thoại của D. Nếu biểu diễn A, B, C, D, E là các đỉnh của đồ thị và xét mối quan hệ có số điện thoại (có thể liên lạc), ta có đồ thị như Hình 1. Em hãy cho biết nếu A cần thông báo một thông tin thì những ai có thể nhận được thông tin đó. Câu hỏi tương tự nếu người cần thông báo thông tin là E.

Tìm hiểu chương trình giúp giải quyết các yêu cầu b), c), d) của bài toán Giao hữu bóng đá.

a) Tìm hiểu chương trình ở Hình 2, dữ liệu được nhập vào như sau:

- Nhập hai số nguyên dương n, m (trong đó n là số đội bóng tham gia, m là số trận đấu đã diễn ra).

- Nhập m cặp số in j (0 ≤i j n; i t j, với k = 1,2,..., m), trong đó mỗi cặp số tương ứng với một cạnh của đồ thị nối từ dinh i_k đến đỉnh j_k, Cho biết đội i, đã đấu với đội j_k và đội i_k giành chiến thắng.

Trong các câu sau đây, những câu nào đúng? 

a) Chỉ có đơn đồ thị có hướng mới biểu diễn được bằng ma trận kề.

b) Cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề đơn giản nhưng lãng phí bộ nhớ trong trường hợp đồ thị có nhiều đỉnh nhưng có ít cạnh.

c) Chỉ có đơn đồ thị vô hướng mới biểu diễn được bằng danh sách kề.

d) Cách biểu diễn bằng danh sách kề sẽ phù hợp khi đồ thị có nhiều đỉnh nhưng có ít cạnh.

Đồ thị khối Q, (Hình 4) là đồ thị có 8 đỉnh, mỗi đỉnh là một dãy bit độ dài 3, hai đinh có cạnh nối nếu hai dãy bit sai khác nhau đúng một bit. 

Em hãy biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề và danh sách kề.

Một đồ thị gồm 4 đỉnh, các đỉnh được đánh số từ 0 đến 3, được biểu diễn bằng ma trận kề như Hình 3. Ma trận kề cho thấy từ đỉnh 1 đến được đỉnh 0 và đỉnh 2. 

Quan sát Hình 2, em hãy xây dựng mảng g biểu diễn đồ thị cho mối quan hệ giáp ranh giữa 8 tỉnh (các tỉnh được đánh số từ 0 đến 7): Sơn La (0), Điện Biên (1), Lai Châu (2), Lào Cai (3), Hà Giang (4), Cao Bằng (5), Lạng Sơn (6), Quảng Ninh (7).  Mảng g có kích thước như thế nào? Em có nhận xét gì về số lượng số 0 và số 1 trong mảng g?

Nếu coi các địa điểm A, B, C, D trong Bảng 1 tương ứng là các đỉnh 0, 1, 2, 3 của đồ thị thì mảng hai chiều g trong Hình 1 biểu diễn đồ thị mô tả tuyến xe buýt giữa các địa điểm. 

Nếu Nam bổ sung thêm thông tin có một tuyến xe buýt từ B đến D, thì mảng g biểu diễn đồ thị thay đổi như thế nào? 

Em có nhận xét gì về tính đối xứng của mảng ? 

Nam thu thập thông tin về tuyến xe buýt giữa các địa điểm và kí hiệu như trong Bảng 1. 

Ví dụ, trên hàng bắt đầu bằng kí tự A cho biết từ địa điểm A có hai tuyến xe buýt, tuyến thứ nhất từ A tới B và tuyến thứ hai từ A tới D. Với thông tin Nam thu thập được, em hãy cho biết: Từ địa điểm B có tuyến xe buýt nào tới địa điểm D không? Từ địa điểm D có những tuyến xe buýt tới các địa điểm nào?

Trong các câu sau đây, những câu nào đúng khi nói về đồ thị?

a) Trong đồ thị, mỗi cạnh thể hiện mối quan hệ giữa hai đối tượng (hai đỉnh). 

b) Bậc của một đỉnh trong đơn đồ thị vô hướng có thể lẻ 

c) Trong đồ thị có hướng tổng bậc ra của tất cả các đỉnh bằng tổng bậc vào của tất cả các đỉnh. 

d) Tuỳ theo mối quan hệ của hai đỉnh u, v bất kì mà cạnh nối hai đỉnh đó có thứ tự hay không và tương ứng là đồ thị có hướng hay đồ thị vô hướng.

Em hãy chọn ra 6 quận/huyện trong tỉnh/thành phố nơi em ở và xây dựng đồ thị vô hướng thể hiện mối quan hệ giáp ranh của các quận/huyện đó.

Xét đơn đồ thị có hướng gồm 6 đỉnh, các đỉnh được đánh chỉ số tương ứng từ 0 đến 5.

a) Em hãy xây dựng đồ thị, biết rằng với hai đỉnh được đánh chỉ số u, v (0 ≤ u, v ≤ 5), nếu u > v và u - v là một số nguyên tố thì đỉnh có chỉ số u có cạnh tới được đỉnh có chỉ số v.

b) Xác định bậc ra, bậc vào của từng đỉnh.

Em hãy nêu ví dụ thực tế có thể sử dụng mô hình đồ thị để mô tả. 

Việc mô tả mối quan hệ giáp ranh của bốn tỉnh Kiên Giang, Cà Mau, Bạc Liêu, Sóc Trăng trong phần khởi động có thể biểu diễn bằng bốn đỉnh (tương ứng với bốn vòng tròn nét liền) và bốn cạnh (tương ứng với bốn đường nối giữa hai vòng tròn cho biết cặp tỉnh giáp ranh) như trong Hình 2. 

Em hãy vẽ Hình 2 vào vở và vẽ thêm hai vòng tròn mô tả hai tỉnh Cần Thơ, Hậu Giang cùng với các cạnh để mô tả mối quan hệ giáp ranh của sáu tỉnh.

Để mô tả các cặp tỉnh có địa giới giáp ranh nhau, ta có thể nêu bằng lời, ví dụ, quan sát lược đồ bốn tỉnh Bạc Liêu, Cà Mau, Sóc Trăng và Kiên Giang trong Hình 1, ta nói "Các cặp tỉnh: (Bạc Liêu, Cà Mau), (Bạc Liêu, Sóc Trăng), (Bạc Liêu, Kiên Giang), (Kiên Giang, Cà Mau) giáp ranh nhau; còn (Kiên Giang, Sóc Trăng) và (Sóc Trăng, Cà Mau) không giáp ranh nhau". Em có cách mô tả nào khác về mối quan hê giáp ranh giữa các tỉnh đó không?

Em hãy thay giá trị khoá là mã từng mặt hàng bởi tên công ty sản xuất mặt hàng đó và thực hiện các yêu cầu của bài toán thực hành ở trên. Giả thiết rằng tên các công ty là một đôi khác nhau.

Kết quả thử nghiệm trên các bộ dữ liệu đầu vào mẫu và tự tạo

Viết chương trình duyệt cây nhị phân theo thứ tự giữa

Mô phỏng chi tiết các bước ứng dụng cây tìm kiếm nhị phân giải quyết bài toán đối với một ví dụ cụ thể

Mô tả các bước thực hiện thuật toán cho bốn yêu cầu trong bài toán nêu trên.

Trong cây tìm kiếm nhị phân em vừa xây dựng ở phần vận dụng, với một số cụ thể trong dây em hãy cho biết cần bao nhiều bước so sánh để tìm ra nút có giá trị khóa đó trên cây.

Trong các câu sau đây, câu nào là đúng về cây tìm kiếm nhị phân?

a) Trong cây tìm kiếm nhị phân, giả trị khóa mọi nút của cây con trái và cây con phải đều nhỏ hơn giá trị khóa của nút gốc

b) Từ một dãy số nguyên đương cho trước chỉ tạo được duy nhật một cây tìm kiếm nhị phân

c) Cây tìm kiếm nhị phân giúp quả trình tìm kiếm phần tử trong dãy có giá trị cho trước nhanh hơn

d) Quá trình tìm kiếm trên cây tìm kiếm nhị phân luôn cho kết quả là tìm được nút có giá trị bằng giá trị khoa học cho trước

Từ một dãy có ít nhất 6 số nguyên dương tùy ý em hãy vẽ hình minh hoa và mô tả từng bước xây dựng một cây tìm kiếm nhị phân tương ứng với dãy đó, bắt dầu từ cây rỗng.

Từ cây tìm kiểm nhị phân trong Hình 5, em hãy mô tả từng bước tìm kiểm một nút có giá trị khóá bằng 65 và một nút có giá trị khoá bằng 70 trên cây.

Từ cây tìm kiểm nhị phân trong Hình 3 sau khi đã chèn thêm nút có giá trị khóa 33, em hãy mô tả từng bước chèn một nút mới có giá trị khóa bằng 28 vào cây.

An và Hòa cùng tham gia một hoạt động về bài toán trên dãy số. Giả sử các phần từ 45, 35, 60, 30, 46, 75, 11, 55, 65, 96, 12, 58 của tập số An giữ được biểu diễn dưới dạng cây nhị phân trong Hình 2, các nút được đánh chỉ số từ 0 đến 11. Em hãy quan sát đặc điểm của cây và các giá trị khóa từng nút của cây này, tử đó đưa ra một cách giúp Hoa đạt ít câu hỏi nhất cô thế để tim ra vị trí nút có giá trị khoá 55.

Em hãy đưa ra danh sách giá trị khóa các nút ở cây nhị phân (Hình 1) trong phép duyệt cây theo thứ tự giữa và nhận xét đặc điểm của cây nhị phân cùng danh sách được đưa ra này.

Từ ví dụ cây nhị phân tổng quát trong Hình 10 dưới đây, em hãy lập trình thực hiện các nhiệm vụ sau: 

a) Bổ sung các nút giá và xây dựng. cây nhị phân hoàn chỉnh bằng cách thêm từng nút giả vào cây. Khóa các nút nhập vào lần lượt từ bản phim, nút giả có giá trị là 0. 

b) Đưa ra danh sách các nút từ cây nhị phân vừa xây dựng theo các thủ tự trước, thứ tự sau và thứ tự giữa.

Tổng số nút của một cây nhị phân hoàn hảo chiều cao 3 là bao nhiêu? 

A.7.                              B. 8.                       C. 15.                          D. 16.

Trong các câu sau, những câu nào SAI? 

a) Nút trong của cây có ít nhất một nút con. 

b) Nút lá của cây là nút không có nút con.

c) Sử dụng các cách duyệt cây khác nhau trên cùng một cây sẽ cho cùng một dãy kết quả. 

d) Số lượng nút giả cần bổ sung thêm trong trường hợp tồi nhất khi dùng mảng một chiều để biểu diễn cây nhị phân có chiều cao h là  - h -  2 nút. 

Em hãy đưa ra danh sách các thành viên gia đình có mối quan hệ được biểu diễn dưới dạng cây trong Hình 17 (còn được gọi là cây phả hệ ngược) theo các thứ tự trước, sau và giữa.

Đội tuyển Argentina đã giành chức vô địch World Cup 2022. Dựa vào hình minh hoạ ở Hình 6, em hãy vẽ cây trong tin học biểu diễn kết quả thi đấu World Cup 2022 các trận đấu từ vòng đấu loại 1:16 đến hết trận chung kết với cấu trúc như sau: 

- Gốc của cây là đội vô địch. 

- Mỗi nút ngoại trừ các nút lá có đúng hai nút con tương ứng với hai đội tham gia trận đấu loại trực tiếp. Khoá của các nút trong là tên đội bóng giành chiến thắng. Khoá của các nút lá là tên các đội bóng ghép đấu với nhau ở vòng 1:16.

Em hãy quan sát một nhánh cây phả hệ ở Hình 1 và cho biết Bình phải xưng hô với An như thế nào?

Đổi màu một vùng bức tranh

Em hãy viết chương trình yêu cầu nhập vào lần lượt các thông tin sau: 
- Hai giá trị M và N tương ứng với số dòng và số cột của lưới ô vuông. 
- Các giá trị màu ở mỗi ô trong lưới ô vuông kích thước M N theo thứ tự hết dòng này đến dòng khác. 
- Ba giá trị r, c, m lần lượt là toạ độ dòng, toạ độ cột và màu mới của ô muốn đổi màu. In ra màn hình lưới ô vuông sau khi đã đổi màu các ô theo đúng yêu cầu của An. 

Kí pháp nghịch đảo Ba Lan và phương pháp tính giá trị của biểu thức toán học

Hãy viết chương trình yêu cầu nhập vào một kí pháp nghịch đảo Ba Lan dưới dạng một xâu kí tự chỉ bao gồm: năm toán tử cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa (+, -,*, /, "), các toán hạng đều chỉ là các số nguyên có một chữ số từ 0 đến 9. Sau đó, tính giá trị của kí pháp này và in kết quả ra màn hình.