Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Phương trình mặt cầu là gì? Các dạng toán thường gặp

    Vietjack.me giới thiệu bài viết Phương trình mặt cầu là gì? Các dạng toán thường gặp bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 307 07/10/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Phương trình mặt cầu là gì? Các dạng toán thường gặp

    1. Định nghĩa Mặt cầu

    • Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến một điểm cố định (tâm) là một hằng số (bán kính).
    • Điểm cố định được gọi là tâm của mặt cầu.
    • Khoảng cách không đổi đó được gọi là bán kính của mặt cầu.

    2. Phương trình Mặt cầu

    - Dạng chính tắc: Phương trình mặt cầu với tâm Ia;b;c và bán kính R là:

    x-a2+y-b2+z-c2=R2.

    - Dạng tổng quát: Phương trình tổng quát của mặt cầu là:

    x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0.

    Trong đó, ta có thể tìm tâm và bán kính bằng cách so sánh với dạng chính tắc:

    Tâm Ia;b;c với a=--2a2, b=--2b2, c=--2c2.

    Bán kính R=a2+b2+c2-d.

    3. Các dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính:

    1. Xác định tọa độ tâm a,b,c.

    2. Xác định bán kính R.

    3. Thay các giá trị vào phương trình chính tắc: x-a2+y-b2+z-c2=R2

    Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và một điểm đi qua:

    1. Xác định tọa độ tâm a,b,c.

    2. Xác định bán kính R bằng công thức khoảng cách từ tâm đến điểm đi qua đó.

    3. Thay các giá trị vào phương trình chính tắc.

    4. Bài tập về Phương trình mặt cầu

    Câu 1: Mặt cầu (S):(x - 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 9 có tâm I là :

    A. I (1 ; -2 ; 0).

    B. I (-1 ; 2 ; 0).

    C. I (1 ; 2 ; 0).

    D. I (-1 ; -2 ; 0).

    Câu 2: Mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = 0 có tâm I là :

    A. I (8 ; -2 ; 0).

    B. I (-4 ; 1 ; 0).

    C. I (-8 ; 2 ; 0).

    D. I (4 ; -1 ; 0).

    Câu 3: Mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 4x + 1 có tọa độ tâm I và bán kính R là :

    A. I (2; 0; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    B. I (2; 0; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    C. I (0; 2; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    D. I (-2; 0; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

    A. x2 + y2 + z2 - 2x = 0

    B. x2 + y2 + z2 + 2x - y + 1 = 0

    C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1

    D. (x + y)2 = 2xy - z2 - 1

    Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 4x + 8y - 2az + 6a = 0. Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận những giá trị nào?

    Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = 4 có phương trình

    A. (x - 1)2 + (y - 3)2 + (x - 2)2 = 4

    B. (x - 1) + (y - 3) + (x - 2) = 16

    C. (x - 1)2 + (y - 3)2 + (x - 2)2 = 16

    D. (x - 1)2 + (y - 3)2 + (x - 2)2 = 8

    Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.

    Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4).

    Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (-1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là

    A. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 3

    B. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 9

    C. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 3

    D. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 9

    Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4 = 0 cắt mặt phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).

    Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có tâm thuộcPhương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    Phương trình mặt cầu và cách giải (hay, chi tiết)

    ĐÁP ÁN

    Câu

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    Đáp án

    A

    D

    A

    A

    A

    B

    C

    B

    B

    A

    D

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 307 07/10/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: