Cách chứng minh trọng tâm

Cách chứng minh trọng tâm

I. Lý thuyết

Trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của 3 đường trung tuyến.

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

- Cách chứng minh:

– Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}.$ Chứng minh G là trọng tâm của ΔBCD.

Hướng dẫn giải:

Vì AD = AB nên A là trung điểm BD.

Suy ra CA là đường trung tuyến của ΔBCD.

Mà $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}$ suy ra G là trọng tâm của ΔBCD.

Ví dụ 2. Cho ΔABC với đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA, trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB. Chứng minh C là trọng tâm của ΔAEM.

Hướng dẫn giải:

Ta có DE = DA nên D là trung điểm của AE

Do đó MD là đường trung tuyến của tam giác AEM.

Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của BC

Do đó BC = 2CD. Mà CM = CB nên CM = 2CD.

Ta có điểm C nằm trên đường trung tuyến MD của tam giác AEM và CM = 2CD nên C là trọng tâm của ΔAEM.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Hướng dẫn giải:

Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Chứng minh rằng hai tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Vì AI là đường trung tuyến của một góc vuông nên ta có: AI = 1/2 BC = BI = CI.

Suy ra, tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.

Bài 3: CHo tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm. BG cắt AC tạo M, CG cắt AB tại N. Chứng minh:

a. BM = CN

b. BN = AN = CM = AM

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm.

Theo tính chất của đường trung trực tam giác cân, AG là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này.

Suy ra, AG vuông góc với BC.

Bên cạnh đó còn có: AB = AC (vì tam giác cân tại A).

Suy ra, BM = CN và BN = AN = CM = AM.

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp giải:

+ Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

+ Áp dụng nhận xét: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên A M = 1/2BC

BC = √ (AB^2 + AC^2) = √ ( 3^2 + 4^2 ) = 5 cm

⇒ A M = 1 / 2 x 5 = 2,5 cm

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2/3 AM = 2/3 .2,5 = 1,7 cm.

Vậy AG = 1,7 cm.

Bài 5: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì? c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Hướng dẫn giải:

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

⇒ ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ΔDEI = ΔDFI

⇒ ∠ DIE = ∠ DIF

Mà ∠ BID + ∠ DIF = 180 độ (kề bù)

Nên ∠ DIE = ∠ DIF = 90 độ

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I ⇒ DI^2 = DE^2 − EI^2 (định lí pytago)

⇒ D I = √ 144 = 12 cm.

Bài 6: Cho G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC, nên theo quy tắc vectơ trọng tâm tam giác, ta có:

Tượng tự, do G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ và có điểm G nên ta có:

Vậy (điều phải chứng minh)