Cách chứng minh tiếp tuyến

Cách chứng minh tiếp tuyến

I. Lý thuyết

Cách chứng minh:

- Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn.

- Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn.

- Cách 3: Chứng minh hệ thức MA² = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vì MA² = MB.MC ⇒

Xét ΔMAC và ΔMBA có

: góc chung

⇒ ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

(1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà (chứng minh trên)

Suy ra (3)

Lại có =90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

= 90^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra = 90^o hay = 90^o

⇒ OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB,AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O).

Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC , CE ⊥ AB

Xét tam giác ABC, có BF ∩ CE = {I}

⇒ I là trực tâm tam giác ABC

Gọi H là giao điểm của AI với BC

⇒ AH ⊥ BC tại H

Xét tam giác AFI vuông tại F, có M là trung điểm của AI

⇒ FM = MA = MI

⇒ ΔFMA cân tại M

(hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác OFC, có OF = OC

⇒ FOC cân tại O

⇒ (hai góc ở đáy) (2)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: = 90^o (hai góc phụ nhau)(3)

Từ (1), (2) và (3) = 90^O

Mà = 90^O

⇒ MF ⊥ OF

Vậy MF là tiếp tuyến của (O).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB. Ax và By là hai tia tiếp tuyến của O (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên tia Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho bằng 90 độ. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Giải

Xét ACO và BEO có:

AO = OB = R

= (hai góc đối đỉnh)

= = 90 độ

Vì Ax và By là tiếp tuyến: Nên = 90 độ

Do đó: ACO = BEO (g - c - g)

Suy ra: OC = OE nên O là trung điểm của EC
CDE có OD vừa là đường cao (do bằng 90 độ) vừa là đường trung tuyến nên tam giác DEC cân tại D.

Suy ra: OD là tia phân giác của

Xét OHD và OBD có:

(do DO là tia phân giác)

= 90 độ

OD : chung

DO đó: OHD = OBD

Suy ra: OH = OB = R

Ta có: OH vuông góc với CD; OH = OB = R

Nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho

.

Khi đó:

a. CD tiếp xúc với đường tròn (O)

b. CD cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt

c. CD không có điểm chung với (O)

d. CD = R²

Giải

Đáp án A

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC

Kẻ OH ⊥ CD

Ta có:

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R² = OB²

⇒ ΔDOE vuông tại O

Xét ΔOAC và ΔOBE , ta có:

AC = BE (gt)

OA = OB (=R)

⇒ ΔOAC = ΔOBE (g-g-g)

⇈ (hai góc tương ứng)

Ta có:

Nên C, O, E thẳng hàng

Xét tam giác DCE, có:

OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của △CDE nên OD cũng là đường phân giác.

⇒ (DO là phân giác )

Xét ΔOHD và ΔOBD , có:

OD chung

(Cmt)

⇒ ΔOHD = ΔOBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ OH = OB ⇒ CD tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại HH

Giải

Ta nhận thấy H ∈ (I), H ∈ (J)

Mà AH ⊥ JH , AH ⊥ IH

Suy ra AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.

Bài 4: Cho tam giác IMN có cạnh IM và cạnh IN bằng nhau. Kẻ đường cao IH và MK giao nhau tại A. Hãy chứng minh:

a. Đường tròn đường kính IA đi qua điểm K

b. Đường tròn đường kính IA có tiếp tuyến là HK

Bài 5: Cho đường tròn tâm I, AB là đường kính. Cho hai tia Ax và By là hai tiếp tuyến của đường tròn. Lấy hai điểm C, D với C nằm trên tia Ax, D nằm trên tia By sao cho góc CID bằng 90 độ. Hãy chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính MN. Vẽ đoạn MA sao cho bằng 30 độ. Trên tia đối của tia NM lấy điểm I sao cho NI bằng bán kính R. Chứng minh:

a. IA là một tiếp tuyến của đường tròn tâm O

b. IA = R

Bài 7: Cho đường tròn tâm O trên đường tròn lấy hai điểm A, B. Kể hai tiếp tuyến từ B và C giao nhau tại A.

a. Chứng minh đoạn AO là đường trung trực của đoạn BC,

b. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Chứng minh đoạn BD và đoạn OA song song với nhau.

Bài 8: Cho hai đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến ME và MF tiếp điểm E và F sao cho EMO = 60 độ. Biết số đo chu vi tam giác MEF = 60 cm.

a. Tính độ dài đoạn EF

b. Tính số đó diện tích tam giác MEF

Bài 9: Cho hai tiếp tuyến tại điểm A và điểm B của đường tròn tâm O giao nhau tại điểm M. Đường thẳng vuông góc với đoạn OA tại điểm O cắt đoạn MB tại điểm C. Chứng minh đoạn CM bằng đoạn CO.

Bài 10: Cho đường tròn tâm I bán kính R, lấy A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến đường tròn AB và AC (trong đó B và C là hai tiếp điểm) Chứng minh = 30 độ khi và chỉ khi đoạn OA bằng độ dài đường kính.