Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính diện tích hình thang

Diện tích hình thang

I. Lý thuyết

- Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao $S=\frac{1}{2}(a+b).h$

trong đó: a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao.

Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, DC = b. Đường cao AH = h. Khi đó:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)AH=\frac{1}{2}(a+b).h$

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}={90}^{\circ }$, AB = 3cm, BC = 5cm, CD = 6cm. Tính diện tích hình thang.

Lời giải:

Kẻ BE vuông góc với CD tại E $\Rightarrow \widehat{BED}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác ABED có:

$\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{BED}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow$Tứ giác ABED là hình chữ nhật.

$\Rightarrow$ AB = DE = 3cm (tính chất).

Ta có DC = DE + EC

$\Rightarrow$ EC = DC – DE = 6 – 3 = 3cm

Xét tam giác BEC vuông tại E ta có:

$B{E}^2+E{C}^2=B{C}^2$ (định lý Py – ta – go)

$$\begin{gathered} \iff B{E}^2+3^2=5^2 \\ \iff B{E}^2=5^2-3^2 \\ \iff B{E}^2=25-9 \\ \iff B{E}^2=16 \\ \Rightarrow BE=4cm \end{gathered}$$

Diện tích hình thang ABCD là

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD).BE=\frac{1}{2}(3+6).4=18c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Biết AB = 10m, CD = 20cm, AD = 13cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Lời giải:

Kẻ AE vuông góc với CD tại E $\Rightarrow \widehat{AEC}={90}^{\circ }$

Kẻ BF vuông góc với CD tại F $\Rightarrow \widehat{BFD}={90}^{\circ }$

Vì $\left\{\begin{array}{l}AE\perp CD\\ BF\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow AE//BF$

Xét tứ giác ABFE có:

AE // BF (chứng minh trên)

AB // EF (do ABCD là hình thang và E, F thuộc CD)

Do đó tứ giác ABFE là hình bình hành

Lại có: $\widehat{AEF}={90}^{\circ }$ nên tứ giác ABFE là hình chữ nhật.

$\Rightarrow AB=EF=10cm$

Ta có: DE + EF + FC = DC

$\iff$ DE + 10 + FC = 20

$\iff$DE + FC = 20 – 10 = 10 (1)

Vì ABCD là hình thang cân

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{C}=\widehat{D}\\ AD=BC\end{array}\right.$(tính chất)

Xét tam giác AED và tam giác BFC có:

$\widehat{AED}=\widehat{BFC}={90}^{\circ }$

$\widehat{C}=\widehat{D}$(chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{\Delta }AED=\mathrm{\Delta }BFC$(cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow ED=CF$ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow ED=CF=5cm$

Xét tam giác AED vuông tại E ta có:

$A{E}^2+E{D}^2=A{D}^2$(định lý Py – ta – go)

$$\begin{gathered} \iff A{E}^2+5^2={13}^2 \\ \iff A{E}^2+25=169 \\ \iff A{E}^2=169-25 \\ \iff A{E}^2=144 \\ \Rightarrow AE=12cm \end{gathered}$$

Diện tích hình thang ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD).AE=\frac{1}{2}(10+20).12=180c{m}^2$

Xem thêm các Công thức Toán lớp 8 quan trọng hay khác:

• Công thức tính diện tích hình bình hành hay, chi tiết

• Công thức diện tích hình thoi hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc hay, chi tiết