Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính diện tích hình thang

Diện tích hình thang

I. Lý thuyết

- Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao $S=\frac{1}{2}(a+b).h$

trong đó: a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao.

Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, DC = b. Đường cao AH = h. Khi đó:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)AH=\frac{1}{2}(a+b).h$

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}={90}^{\circ }$, AB = 3cm, BC = 5cm, CD = 6cm. Tính diện tích hình thang.

Lời giải:

Kẻ BE vuông góc với CD tại E $\Rightarrow \widehat{BED}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác ABED có:

$\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{BED}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow$Tứ giác ABED là hình chữ nhật.

$\Rightarrow$ AB = DE = 3cm (tính chất).

Ta có DC = DE + EC

$\Rightarrow$ EC = DC – DE = 6 – 3 = 3cm

Xét tam giác BEC vuông tại E ta có:

$B{E}^2+E{C}^2=B{C}^2$ (định lý Py – ta – go)

$$\begin{gathered} \iff B{E}^2+3^2=5^2 \\ \iff B{E}^2=5^2-3^2 \\ \iff B{E}^2=25-9 \\ \iff B{E}^2=16 \\ \Rightarrow BE=4cm \end{gathered}$$

Diện tích hình thang ABCD là

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD).BE=\frac{1}{2}(3+6).4=18c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Biết AB = 10m, CD = 20cm, AD = 13cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Lời giải:

Kẻ AE vuông góc với CD tại E $\Rightarrow \widehat{AEC}={90}^{\circ }$

Kẻ BF vuông góc với CD tại F $\Rightarrow \widehat{BFD}={90}^{\circ }$

Vì $\left\{\begin{array}{l}AE\perp CD\\ BF\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow AE//BF$

Xét tứ giác ABFE có:

AE // BF (chứng minh trên)

AB // EF (do ABCD là hình thang và E, F thuộc CD)

Do đó tứ giác ABFE là hình bình hành

Lại có: $\widehat{AEF}={90}^{\circ }$ nên tứ giác ABFE là hình chữ nhật.

$\Rightarrow AB=EF=10cm$

Ta có: DE + EF + FC = DC

$\iff$ DE + 10 + FC = 20

$\iff$DE + FC = 20 – 10 = 10 (1)

Vì ABCD là hình thang cân

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{C}=\widehat{D}\\ AD=BC\end{array}\right.$(tính chất)

Xét tam giác AED và tam giác BFC có:

$\widehat{AED}=\widehat{BFC}={90}^{\circ }$

$\widehat{C}=\widehat{D}$(chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{\Delta }AED=\mathrm{\Delta }BFC$(cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow ED=CF$ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow ED=CF=5cm$

Xét tam giác AED vuông tại E ta có:

$A{E}^2+E{D}^2=A{D}^2$(định lý Py – ta – go)

$$\begin{gathered} \iff A{E}^2+5^2={13}^2 \\ \iff A{E}^2+25=169 \\ \iff A{E}^2=169-25 \\ \iff A{E}^2=144 \\ \Rightarrow AE=12cm \end{gathered}$$

Diện tích hình thang ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD).AE=\frac{1}{2}(10+20).12=180c{m}^2$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Diện tích hình thang có đáy lớn 8,6 cm, đáy bé 7,2 cm và chiều cao 4,8 cm là:

A. 37,92 cm²

B. 37,92 cm

C. 75,84 cm²

D. 75,84 cm

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình thang là:

S = $\frac{\left(\mathrm{8,6}+\mathrm{7,2}\right)\times \mathrm{4,8}}{2}$ = 37,92 (cm²)

Bài 2. Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn dài 80 m, đáy bé bằng $\frac{3}{4}$ đáy lớn, khoảng cách từ đáy lớn đến đáy bé bằng $\frac{2}{3}$ đáy bé. Tính diện tích thửa ruộng đó.

Hướng dẫn giải:

Đáy bé của thửa ruộng hình thang là:

80 × $\frac{3}{4}$ = 60 (cm)

Chiều cao của thửa ruộng hình thang là:

60 × $\frac{2}{3}$ = 60 (cm)

Diện tích của thửa ruộng đó là:

$\frac{\left(80+60\right)\times 40}{2}$ = 2800 (m²)

Đáp số: 2 800 m²

Bài 3. Diện tích tăng thêm của hình thang là diện tích của hình tam giác có đáy 5 dm và chiều cao bằng chiều cao của hình thang.

Hướng dẫn giải:

Chiều cao của hình thang là:

45 × 2 : 5 = 18 (dm)

Diện tích hình thang lúc đầu là:

$\frac{65\times 18}{2}$ = 585 (dm²)

Đáp số: 585 dm²

Bài 4. Tính diện tích hình thang ABCD.

Biết diện tích các hình tam giác AOD và DOC như hình vẽ.

Lời giải:

Hai tam giác ADC và BDC có chung đáy DC và chiều cao bằng nhau nên SADC = SBDC

Vì: SADC = SAOD + SDOC ; SBDC = SBOC + SDOC

Suy ra: SAOD = SBOC = 10cm²

Hai tam giác AOD và DOC có chung chiều cao hạ từ D và SDOC = 2SAOD nên OC = 2AO

Hai tam giác ABO và BOC có chiều cao hạ từ B và đáy OC gấp 2 lần đáy AO nên SBOC = 2SAOB

Vậy: SAOB = SBOC = x 10 = 5 (cm²)

Do: SABDC = SAOB + SAOD + SDOC + SBOC nên diện tích hình thang ABCD là:

5 + 10 + 20 + 10 = 45 (cm²)

Bài 5: Tính diện tích hình thang có chiều cao bằng 4 dm, đáy bé bằng 80% chiều cao và kém đáy lớn 1,2 dm.

Đáp số: 15,2 dm²

Bài 6: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 24 cm, đáy lớn hơn đáy bé 1,2 cm, chiều cao kém đáy bé 2,4 cm. Tính diện tích hình thang.

Đáp số: 108 cm²

Bài 7: Hình thang có đáy lớn hơn đáy bé 20,4 dm và bằng $\frac{5}{3}$ đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 2,1 dm. Tính diện tích hình thang.

Đáp số: 1334,16 dm²

Bài 8: Tính diện tích hình thang có tổng độ dài của hai đáy bằng 82,5 m; biết 40% đáy lớn bằng 60% đáy bé, đáy bé kém chiều cao 2 m.

Bài 9: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 14,5dm, đáy lớn gấp rưỡi đáy bé, chiều cao kém đáy bé 2,8 dm. Tính diện tích hình thang.

Đáp số: 21,75 dm².

Bài 10: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 30,5 dm, đáy lớn bằng 1,5 lần đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 6,2 dm. Tính diện tích hình thang.

Đáp số: 280,6 dm²

Bài 11: Tính diện tích hình thang có tổng độ dài của chiều cao và đáy bé bằng 28,7 dm, 3 lần đáy bé bằng 4 lần chiều cao, đáy lớn hơn đáy bé 1,2 dm.

Bài 12: Tính diện tích hình thang có đáy lớn hơn đáy bé 30 cm; biết 20% đáy lớn bằng 30% đáy bé, đáy bé kém chiều cao 0,5 cm.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 8 quan trọng hay khác:

• Công thức tính diện tích hình bình hành hay, chi tiết

• Công thức diện tích hình thoi hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc hay, chi tiết