200 bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian và cách giải (2023) có đáp án

200 bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian và cách giải (2023) có đáp án

I. Lý thuyết

Dạng 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng
Phương pháp:

Việc dựng hình chiếu của một điểm trên đường thẳng trong không gian, ta có thể làm theo 2 cách sau:

+ Dựng mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho. Rồi trên mặt phẳng đó qua điểm đã cho dựng đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng.

+ Dựng một mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng, lúc đó giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng chính là hình chiếu của điểm trên đường thẳng.
Sau khi đã xác định được khoảng cách cần tính, ta dùng các hệ thức lượng trong tam giác, đa giác, đường tròn … để tính toán.

Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD'.

Lời giải:

Dạng 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa 2 điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P)

Kí hiệu: d(M,(P)) = MH

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30$°$. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.

Lời giải:

Dạng 3. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Phương pháp:

Việc tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó, hoặc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Cần lưu ý việc chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách được đơn giản nhất.

Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA', BB'. Tính khoảng cách từ MN đến mp(ABC'D') 

Lời giải:

Dạng 4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau chính là độ dài của đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó. 

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, SA$\perp$(ABCD), SC = $2a\sqrt{5}$ và góc giữa SC và (ABCD) bằng 60$°$, M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng AM và SD.

A. $\frac{a\sqrt{510}}{17}$                    B.$\frac{a\sqrt{51}}{17}$                 C.$\frac{2a\sqrt{510}}{17}$                 D.$\frac{3a\sqrt{510}}{17}$

Lời giải:

II. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu C' trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC' hợp với mp(ABC) góc 60$°$. Gọi I là trung điểm của AB. Tính các khoảng cách:

a) Từ điểm O đến đường thẳng CC'

A. $\frac{a}{2}$                 B.$\frac{3a}{2}$            C.$\frac{a}{4}$           D.$\frac{a}{3}$

Lời giải:

b) Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC'

A. $\frac{2a\sqrt{13}}{3}$                 B.$\frac{3a\sqrt{13}}{13}$               C.$\frac{a\sqrt{3}}{3}$               D.$\frac{a\sqrt{13}}{3}$

Lời giải:

c) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng A'B'

A. $\frac{2a\sqrt{7}}{3}$                    B.$\frac{a\sqrt{7}}{3}$                  C.$\frac{a\sqrt{7}}{2}$                  D.$\frac{a\sqrt{7}}{4}$

Lời giải:

Bài 2. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, ABC = 60$°$. Gọi M là trung điểm cạnh BC và SA = SC = SM =$a\sqrt{5}$. Khoảng cách từ S đến cạnh AB là:

A.$\frac{a\sqrt{17}}{4}$                  B.$\frac{a\sqrt{19}}{2}$                  C.$\frac{a\sqrt{19}}{4}$                  D.$\frac{a\sqrt{17}}{2}$

Lời giải:

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ D đến đường thẳng SB bằng:

A. a                               B. $\frac{a}{2}$                              C. $\frac{a}{3}$                              D.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Lời giải:

Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm của đáy và SO = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu của O lên SI. Tính khoảng cách từ O đến SA.

A. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$                            B.$\frac{a\sqrt{3}}{3}$                            C.$\frac{a\sqrt{2}}{3}$                            D.$\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Lời giải:

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

A. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$                         B.$\frac{a\sqrt{5}}{3}$                       C.$\frac{a\sqrt{5}}{5}$                       D.$\frac{3a\sqrt{5}}{5}$

Lời giải:

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = $a\sqrt{2}$ và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là 60$°$. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

A. $\frac{a\sqrt{38}}{29}$                 B.$\frac{3a\sqrt{58}}{29}$               C.$\frac{3a\sqrt{38}}{29}$               D.$\frac{3a}{29}$

Lời giải:

Bài 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA = a, BC = 2a, SA = a, SA $\perp$(ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB). 

A. $\frac{8a}{9}$                          B.$\frac{a}{9}$                          C.$\frac{2a}{9}$                          D.$\frac{5a}{9}$

Lời giải:

Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC, SBC là những tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60$°$. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Lời giải:

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mp(MNP) và mp(SBC).

Lời giải:

aCho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình
chiếu của C’ trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với mp(ABC) góc60
. Gọi I là trung điểm của AB. Tính các khoảng cách: