Công thức nghiệm của phương trình bậc hai và bài tập (có đáp án 2026)

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai và bài tập có đáp án

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa phương trình bậc 2

+) Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

+) Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Đối với phương trình ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ (a ≠ 0) và biệt thức Δ = ${\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}$

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

và

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = ${\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}$ > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

II. Các dạng toán áp dụng Công thức nghiệm phương trình bậc hai

1. Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

2. Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng cộng thức nghiệm

Phương pháp:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

và

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

3. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ (a≠0)

+) Phương trình có nghiệm kép ⇔ a ≠ 0 và Δ = 0

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ 0 và Δ > 0

+) Phương trình vô nghiệm ⇔ a ≠ 0; Δ < 0 ⇔ a ≠ 0 và Δ < 0

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4=0$

Hướng dẫn:

+ Tính Δ = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

và

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 1

Câu 2: Giải phương trình $5{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+2=0$

Hướng dẫn:

+ Tính Δ = ${\left(-1\right)}^2$- 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4=0$.

Hướng dẫn:

+ Tính Δ = ${\left(-4\right)}^2$ - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là $x_1=x_2=\frac{-4}{2.1}=-2$

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Câu 4: Cho phương trình (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn:

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với :

a, Để phương trình (1) có nghiệm

b, Để phương trình (1) có nghiệm kép

c, Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

d, Để phương trình (1) vô nghiệm

Câu 5: Giải phương trình x² + 14x + 49 = 0; x² - 2x - 5 = 0

Lời giải:

Câu 6: Cho phương trình -x² + 2x + 2017²⁰¹⁷ = 0 . Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

Ta có: Δ=b² - 4ac

Nhận thấy: b² > 0; ac = -2017²⁰¹⁷ < 0 ⇒ -4ac > 0

Do đó: Δ = b² - 4ac > 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 7. Cho phương trình – 2x² + 2 = – 3(x + 1). Biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy tính x₁ + x₂.

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình – 2x² + 2 = – 3(x + 1) hay – 2x² + 3x + 5 = 0

Có: ∆ = 3² – 4.( – 2).5 = 49 > 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.(-2)}=-1, x_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.(-2)}=\frac{5}{2}$

Vậy $x_1+x_2=(-1)+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$

Câu 8. Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của phương trình:

a) x² - x - 11 = 0;

b) -5x² - 4x + 1 = 0;

c) 3x² - 2$\sqrt{3}$x + 1 = 0;

d) $\sqrt{3}{x}^2-(1-\sqrt{3})x-1=0$.

Hướng dẫn giải

a) x² - x - 11 = 0 có a = 1, b = – 1, c = – 11.

Có: ∆ = (– 1)² – 4.1.( – 11) = 45 > 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{1+\sqrt{45}}{2.1}=\frac{1+3\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{45}}{2.1}=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$

b) -5x² - 4x + 1 = 0 có a = – 5, b = – 4, c = 1.

Có: ∆ = (– 4)² – 4.( – 5).1 = 36 > 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{4+\sqrt{36}}{2.(-5)}=-1, x_2=\frac{4-\sqrt{36}}{2.(-5)}=\frac{1}{5}$

c) 3x² - 2$\sqrt{3}$x + 1 = 0 có a = 3, b = - 2$\sqrt{3}$, c = 1.

Có ∆ = (- 2$\sqrt{3}$)² - 4.3.1 = 0

Khi đó, phương trình có nghiệm là $x=-\frac{-2\sqrt{3}}{2.3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

d) $\sqrt{3}{x}^2-(1-\sqrt{3})x-1=0$ có $a=\sqrt{3}, b=-(1-\sqrt{3}), c=1$

Có $∆={[-(1-\sqrt{3}\left)\right]}^2-4.\sqrt{3}.1=4-6\sqrt{3}<0$

Khi đó, phương trình vô nghiệm.

Câu 9. Với giá trị nào của m thì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1?

Hướng dẫn giải

Vì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 nên ta thay x = 1 vào phương trình:

4.1² + m².1 + 4m = 0 hay m² + 4m + 4 = 0

Như vậy, ta có phương trình mới là m²x + 4m = 0 với ẩn là m.

Ta có: m² + 4m + 4 = 0

Có: ∆ = 4² – 4.1.4 = 0

Khi đó, phương trình có nghiệm là: m = $-\frac{4}{2.1}=-2$

Vậy giá trị nào của m là – 2 thì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1. Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình:

a) 7x² – 9x + 2 = 0;

b) 23x² – 9x – 32 = 0;

c) 1975x² + 4x – 1979 = 0;

d) 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0.

Bài 2. Cho phương trình mx² – 4(m – 1)x + 4m + 8 = 0. Tình các giá trị của m để phương trinh:

a) Có hai nghiệm phân biệt;

b) Có nghiệm kép;

c) Vô nghiệm.

Bài 3. Tìm giá trị của m để phương trình mx² – 3(m + 1)x + m² – 13m – 4 = 0 có một nghiệm là – 2. Hãy tìm nghiệm còn lại.

Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) (m – 3)x² – 2mx + m – 6 = 0;

b) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0.

Bài 10. Cho hai phương trình x² + x – m = 0 và x² – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung;

b) Hai phương trình tương đương.