Thể tích khối lăng trụ tam giác đều

Thể tích khối lăng trụ tam giác đều

I. Lý thuyết

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều với cạnh đáy là a và chiều cao h được tính theo công thức sau:

$𝑉=\frac{\sqrt{3}}{4}{𝑎}^2ℎ$

1. Tính diện tích của tam giác đều ở đáy: Sử dụng công thức $𝑆=\frac{\sqrt{3}}{4}{𝑎}^2$, với a là độ dài cạnh của tam giác đều.
2. Nhân diện tích đáy vừa tìm được với chiều cao h của lăng trụ để tìm thể tích: $𝑉=𝑆\times ℎ$.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ $𝐴𝐵𝐶.{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }$ có đáy $𝐴𝐵𝐶$ là tam giác đều với cạnh $𝑎=2𝑐𝑚$ và chiều cao $ℎ=3𝑐𝑚$. Tính thể tích của hình lăng trụ này.

Giải:

Diện tích đáy là ${𝑆}_{𝐴𝐵𝐶}={𝑎}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=2^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{𝑚}^2$. Thể tích hình lăng trụ là $𝑉={𝑆}_{𝐴𝐵𝐶}\cdot ℎ=\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}{𝑚}^3$.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ $𝐴𝐵𝐶.{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $𝑎\sqrt{3}$, góc giữa và đáy là ${60}^{\circ }$. Gọi $𝑀$ là trung điểm của $𝐵{𝐵}^{\prime }$. Tính thể tích của khối chóp $𝑀.{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }$.

Hướng dẫn giải:

Sử dụng tính chất và công thức phù hợp để tìm thể tích, kết quả là $\frac{3{𝑎}^2\sqrt{3}}{8}$.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:

Giải:

Theo giả thiết mặt đáy của lăng trụ là tam giác đều cạnh a nên đáy có diện tích $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Lăng trụ đứng chiều cao h=a , do vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là

$V=B.h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Bài 2: Cho khối tứ diện đều S.ABCD có thể tích là V. Nếu giảm độ dài cạnh đáy xuống hai lần và tăng độ dài đường cao lên ba lần thì ta được khối chóp mới có thể tích là:

Giải:

Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình chóp tứ giác đều lần lượt là a và h. Thể tích khối chóp sau khi đã giảm độ dài cạnh đáy và tăng chiều cao là:

$\frac{1}{3}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2.3h=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}{a}^2.h\right)=\frac{3}{4}V$

Bài 3: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a và có thể tích V = $\frac{9}{4}d{m}^2$. Tính giá trị của a

Giải:

Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng:

V = B.h = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9}{4}\iff a^3=3\sqrt{3}\iff a=\sqrt{3}\left(dm\right)$

Bài 4: Cho hình lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh AA' hợp với mặt phẳng đáy một góc $45°$. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A'B'C tính theo a bằng:

Giải

Gọi AI là đường cao, H là tâm của tam giác ABC $\Rightarrow$ A'H $\perp$ (ABC)

Vì $\left\{\begin{array}{l}AA\text{'}\cap \left(ABC\right)=A\\ A\text{'}H\perp \left(ABC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow$góc giữa của AA' VÀ (ABC) là $\widehat{A\text{'}AH}\Rightarrow \widehat{A\text{'}AH}=45°$

Ta có: AI = $\frac{3a\sqrt{3}}{2}, AH=\frac{2}{3}AI=a\sqrt{3}, S_{ABC}=\frac{{\left(3a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$

A'H = AH.$\tan 45°=AH=a\sqrt{3}$

Thể tích của lăng trụ là: $V=A\text{'}H.S_{ABC}=a\sqrt{3}.\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27a^3}{4}$

Bài 5: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C có cạnh đáy bằng a. Gọi I là trung điểm cạnh BC. Nếu góc giữa đường thẳng A'I và mặt phẳng (ABC) bằng $60°$ thì thể tích của lăng trụ là bao nhiêu?

Bài 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng $60°$. Tính thể tích của lăng trụ đó.

Bài 7: Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C và M là trung điểm cạnh AB. Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.

Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, đường thằng AB' tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc $30°$. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Bài 9: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC') bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (BCC'B') bằng a với $\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}$.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C.

CCD

dh là