Lý thuyết, cách xác định và bài tập các tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc

A. Lý thuyết

1. Định lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. (Định lý thuận).

Cho góc xOy với Oz là tia phân giác

2. Định lý đảo

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.

3. Ví dụ

Ví dụ 1:Chứng minh rằng trong một tam giác ba phân giác của hai ngóc ngoài và một góc trong không kề với chúng gặp nhau tại một điểm

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài của góc B và góc C

Vậy hai phân giác góc ngoài của góc B và C và phân giác góc trong của góc A gặp nhau tại một điểm.

Ví dụ 2:Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có $\hat{A}$ = 90°, có B ∈ Ox, C ∈ Oy , A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy

Lời giải:

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ B kẻ BH vuông góc với AC tại H và từ C kẻ CK vuông góc với AB tại K, hai đường thẳng BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là đường phân giác của tam giác ABC.

Lời giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa A, tam giác vuông cân CDB tại D. Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC

Lời giải:

Điều đó chứng tỏ D nằm trên đường phân giác của góc BAC hay AD là đường phân giác của góc BAC.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc C cắt AB tại D. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB.

a) Chứng minh: CD // EB.

b) Tia phân giác của góc E cắt CD tại F. Vẽ CK vuông góc EF tại K. Chứng minh: CK là tia phân giác của $\widehat{ECF}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì ∆CBE nên CB = CE (gt)

Suy ra ∆CBE cân tại C.

Do đó $\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (gt) nên $\widehat{ACD}=\widehat{DCB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$.

Hay $\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{DCB}\left(1\right)$.

Lại có $\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CEB}$ (Vì $\widehat{ACB}$ là góc ngoài tại đỉnh C của ∆CBE).

=> $\widehat{ACB}=\widehat{CBE}+\widehat{CBE}=2\widehat{CBE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2\widehat{DCB}=2\widehat{CBE}$ hay $\widehat{DCB}=\widehat{CBE}$.

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên CD // EB.

b) Vì CD // EB (cmt) nên $\widehat{CFE}=\widehat{FEB}$ (vị trí so le trong)

Lại có: $\widehat{CEF}=\widehat{FEB}$ (vì EF là tia phân giác)

⇒ $\widehat{CFE}=\widehat{CEF}\left(=\widehat{FEB}\right)$

⇒ ∆CFE cân tại C.

Mặt khác: CK ⊥ FE tại K.

⇒ CK là đường cao.

⇒ CK đồng thời là đường phân giác của $\widehat{ECF}$ (tính chất tam giác cân).

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 7 khác:

• Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác
• Bài tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác