Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bài tập và cách giải (2024)

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bài tập và cách giải

I. Lý thuyết

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong các dạng sau đây:

ax + by + c $\ge$ 0

ax + by + c $\le$ 0

ax + by + c > 0

ax + by + c < 0

Trong đó: a, b, c là các số cho trước thỏa mãn điều kiện a² + b² $\ne$ 0, x và y là ẩn số.

Nghiệm của các bất phơng trình bậc nhất hai ẩn được định nghĩa như sau:

Nếu có cặp số (x0;y0) thỏa mãn ax₀ + by₀ +c < 0, khi đó (x₀;y₀) được gọi là 1 nghiệm của bất phương trình ax +by +c <0. Tương tự với các bất phương trình ax +by +c >0, ax +by +c $\ge$0, ax +by +c $\le$0.

II. Miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn và cách biểu diễn

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là nghiệm của bất phương trình 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

2. Định lý

Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0 chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng sao cho một trong 2 mặt phẳng ấy gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c>0, nửa còn lại gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c<0. Từ đó, ta suy ra:

Nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa M(x₀;y₀) là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c>0 (hay ax+by+c<0) nếu M(x₀;y₀) là nghiệm của bất phương trình đó.

3. Cách biểu diễn miền nghiệm

Để xác định miền nghiệm của bất phương tình bậc nhất hai ẩn, ta làm cách sau đây:

• Bước 1: vẽ (d): ax+by+c=0
• Bước 2: Xác định 1 điểm M(x0;y0) sao cho M không nằm trên (d)

Trong bước 2 này ta cần lưu ý 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: khi ax0 + by0 +c< 0 thì lúc đó nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M được gọi là miền nghiệm của ax+by+c<0.
• Trường hợp 2: khi ax0+by0+c >0 thì lúc đó nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M được gọi là miền nghiệm của ax+by+c>0.

Lưu ý:

• Khi biểu diễn miền nghiệm, đối với các bất phương trình có dạng ax+by+c$\le$ 0 hoặc ax+by+c$\ge$ 0 thì khi đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm,

III. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là biểu thức bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình xuất hiện trong hệ thì tập hợp các điểm đó được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta cũng có thể hiểu miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của những bất phương trình thành phần trong hệ.

Để xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh sử dụng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

• Bước 1: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
• Bước 2: Sau khi đã xác định các miền trong hệ, miền mà không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x² + y > 0;

B. x² + 3y² = 2;

C. –x + y³ ≤ 0;

D. x – y < 1.

Lời giải

Đáp án D

x² + y > 0 là bất phương trình bậc hai. Do đó đáp án A sai.

x² + 3y² = 2 là phương trình bậc hai. Do đó đáp án B sai.

–x + y³ ≤ 0 là bất phương trình bậc ba. Do đó đáp án C sai.

x – y < 1 có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn (ẩn x và ẩn y) với: a = 1; b = –1; c = 1. Do đó đáp án D đúng.

Câu 2. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x² < 3x – 7y;

B. x + 3y² ≥0;

C. –2²x + y ≤4;

D. 0x – 0y ≤ 5.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

x² < 3x – 7y và x + 3y² ≥ 0 là bất phương trình hai ẩn bậc hai; 0x – 0y ≤ 5 có hệ số của x và y đồng thời bằng 0. Vì vậy, A, B, D không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: –2²x + y ≤ 4 ⇔ –4x + y ≤ 4.

Vì –4x + y ≤ 4 có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = –4; b = 1; c = 4 nên đáp án C đúng.

Câu 3. Bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x – y > 7(x – 4y) + 1?

A. 4x – 27y + 1 > 0;

B. 4x – 27y + 1 ≥ 0;

C. 4x – 27y < –1;

D. 4x – 27y + 1 ≤ 0.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có :

3x – y > 7(x – 4y) + 1

⇔ 3x – y > 7x – 28y + 1

⇔ 0 > 7x – 3x – 28y + y + 1

⇔ 4x – 27y + 1 < 0

⇔ 4x – 27y < –1.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 4. Cho bất phương trình x + y ≤ 2 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất;

B. Bất phương trình (1) chỉ có hai nghiệm;

C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm;

D. Bất phương trình (1) vô nghiệm.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng d: x + y = 2 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Với cặp số (x; y) = (0; 0) ta có: 0 + 0 = 0 < 2. Suy ra cặp số (x; y) = (0; 0) là một nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 (1).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d có chứa điểm O(0;0) (kể cả d).

Do đó, bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình: –3x + y > 0 chứa điểm nào trong các điểm sau:

A. (–3; 0);

B. (3; 2);

C. (0; 0);

D. (1; 1);

Lời giải

Đáp án đúng là: A

+ Đối với cặp số (x; y) = (–3; 0) ta có : –3.(–3) + 0 = 9 > 0.

Suy ra cặp số (x; y) = (–3; 0) là một nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0 chứa điểm (–3; 0).

+ Đối với cặp số (x; y) = (3; 2) ta có : –3. 3 + 2 = –7 < 0.

Suy ra cặp số (x; y) = (3; 2) không phải là nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0 không chứa điểm (3; 2).

+ Đối với cặp số (x; y) = (0; 0) ta có : –3. 0 + 0 = 0.

Suy ra cặp số (x; y) = (0; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0 không chứa điểm (0; 0).

+ Đối với cặp số (x; y) = (1; 1) ta có : –3. 1 + 1 = –2 < 0.

Suy ra cặp số (x; y) = (1; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0 không chứa điểm (1; 1).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình –3x + y > 0 chứa điểm (–3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 6. Bạn Lan để dành được 300 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ học sinh khó khăn, bạn Lan đã ủng hộ x tờ tiền loại 10 nghìn đồng, y tờ tiền loại 20 nghìn đồng từ tiền để dành của mình. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào diễn tả giới hạn về tổng số tiền mà bạn Lan đã ủng hộ.

A. x + y < 300 ;

B. 10x + y < 300 ;

C. 10x + 20y > 300;

D. 10x + 20y ≤ 300.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Số tiền mệnh giá 10 nghìn đồng là: 10x (nghìn đồng)

Số tiền mệnh giá 20 nghìn đồng là: 20y (nghìn đồng)

Tổng số tiền bạn Lan đã ủng hộ là: 10x + 20y (nghìn đồng).

Vì tổng số tiền Lan ủng hộ không vượt quá số tiền Lan để dành được là 300 nghìn đồng nên ta có bất phương trình: 10x + 20y ≤ 300.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 7. Miền nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≤ 1 là:

A. Đường thẳng d: 4x + 3y = 1;

B. Đường thẳng d: 4x + 3y = 1 và điểm O(0;0);

C. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d: 4x + 3y = 1 không chứa điểm O(0;0) (kể cả bờ d);

D. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d: 4x + 3y = 1 chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ d).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d : 4x + 3y = 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa.

Với cặp (x; y) = (0; 0) ta có 4.0 + 3.0 = 0 < 1. Do đó cặp số (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≤ 1.

Khi đó điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≤ 1.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≤ 1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d : 4x + 3y = 1, có chứa điểm O(0;0) (bao gồm cả bờ d).

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 8. Điểm nào trong các điểm sau thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

A. (0; 0);

B. (1; 0);

C. (0; 1);

D. (–5; 1).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

2(x + 3) – 4(y –1) < 0

⇔ 2x + 6 – 4y + 4 < 0

⇔ 2x – 4y + 10 < 0

⇔ 2x – 4y < –10.

+ Đối với cặp số (x; y) = (0; 0) ta có: 2.0 – 4.0 = 0 > –10.

Do đó cặp số (x; y) = (0; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình 2x – 4y < –10.

Suy ra điểm (0 ; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

+ Đối với cặp số (x; y) = (1; 0) ta có: 2.1 – 4.0 = 2 > –10.

Do đó cặp số (x; y) = (1; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình 2x – 4y < –10.

Suy ra điểm (1 ; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

+ Đối với cặp số (x; y) = (0; 1) ta có: 2.0 – 4.1 = – 4 > –10.

Do đó cặp số (x; y) = (0; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình 2x – 4y < –10.

Suy ra điểm (0 ; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

+ Đối với cặp số (x; y) = (– 5; 1) ta có : 2.(– 5) – 4. 1 = – 14 < –10.

Do đó cặp số (x; y) = (– 5; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x – 4y < –10.

Suy ra điểm (– 5; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

Vậy điểm (– 5; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 9. Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình: x – 4y ≥ –5.

A. (–5; 0);

B. (0; 0);

C. (–2; 1);

D. (1; –3).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

+ Đối với cặp số (x; y) = (–5; 0) ta có: –5 – 4.0 = –5.

Do đó cặp số (x; y) = (–5; 0) là nghiệm của bất phương trình x – 4y ≥ –5.

+ Đối với cặp số (x; y) = (0; 0) ta có: 0 – 4.0 = 0 > –5.

Do đó cặp số (x; y) = (–2; 1) là nghiệm của bất phương trình x – 4y ≥ –5.

+ Đối với cặp số (x; y) = (–2; 1) ta có: –2 – 4.1 = –6 < –5.

Do đó cặp số (x; y) = (–2; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình x – 4y ≥ –5.

+ Đối với cặp số (x; y) = (1; –3) ta có: 1 – 4.( –3) = 13 > –5.

Do đó cặp số (x; y) = (1; –3) là nghiệm của bất phương trình x – 4y ≥ –5.

Vậy cặp số (x; y) = (–2; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình x – 4y ≥ –5.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 10. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình:

4(2 – y) > 2x + y – 2.

A. (0; 0);

B. (1; 0);

C. ( 1; 2);

D. ( –1; 1).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

4(2 – y) > 2x + y – 2

⇔ 8 – 4y > 2x + y – 2

⇔ –2x – 4y – y > –2 – 8

⇔ –2x – 5y > –10

⇔ 2x + 5y < 10.

+ Đối với cặp số (x; y) = (0; 0) ta có: 2.0 + 5.0 = 0 < 10

Do đó cặp số (x; y) = (0; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x + 5y < 10, tức là nghiệm của bất phương trình 4(2 – y) > 2x + y – 2. .

+ Đối với cặp số (x; y) = (1; 0) ta có: 2.1 + 5.0 = 2 < 10

Do đó cặp số (x; y) = (1; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x + 5y < 10, tức là nghiệm của bất phương trình 4(2 – y) > 2x + y – 2.

+ Đối với cặp số (x; y) = (1; 2) ta có: 2.1 + 5.2 = 12 > 10

Do đó cặp số (x; y) = (1; 2) không phải là nghiệm của bất phương trình 2x + 5y < 10, tức không là nghiệm của bất phương trình 4(2 – y) > 2x + y – 2.

+ Đối với cặp số (x; y) = (–1; 1) ta có : 2.( –1) + 5.1 = 3 < 10

Do đó cặp số (x; y) = (–1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + 5y < 10, tức là nghiệm của bất phương trình 4(2 – y) > 2x + y – 2.

Vậy cặp số (x; y) = (1; 2) không phải là nghiệm của bất phương trình 4(2 – y) > 2x + y – 2.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 11. Điểm A(1; –3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào?

A. –3x + 2y –3 > 0;

B. 3x – y ≤ 0;

C. 3x – y > 0;

D. y – 2x > – 4.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

+ Với cặp số (x; y) = (1; –3) ta có : –3.1 + 2.(–3) = –9 < 0;

Do đó cặp số (x; y) = (1; –3) không phải là nghiệm của bất phương trình –3x + 2y –3 > 0.

Suy ra điểm A(1; –3) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình –3x + 2y –3 > 0.

+ Với cặp số (x; y) = (1; –3) ta có : 3.1 – (–3) = 6 > 0;

Do đó cặp số (x; y) = (1; –3) không phải là nghiệm của bất phương trình 3x – y ≤ 0;

Suy ra điểm A(1; –3) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x – y ≤ 0.

+ Với cặp số (x; y) = (1; –3) ta có : 3.1 – (–3) = 6 > 0;

Do đó cặp số (x; y) = (1; –3) là nghiệm của bất phương trình 3x – y > 0;

Suy ra điểm A(1; –3) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x – y > 0.

+ Với cặp số (x; y) = (1; –3) ta có : –3 – 2.1 = –5 < – 4.

Do đó cặp số (x; y) = (1; –3) không phải là nghiệm của bất phương trình y – 2x > – 4.

Suy ra điểm A(1; –3) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình y – 2x > – 4.

Vậy điểm A(1; –3) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x – y > 0.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 12. Cặp số (2 ; 3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. –2x + 3y < –1;

B. x + y ≤ 0;

C. 4x ≥ 2y + 1;

D. x – y + 6 < 0.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

+ Với cặp số (x; y) = (2; 3) ta có : –2.2 + 3.3 = 5 > –1;

Do đó cặp số (x; y) = (2; 3) không phải là nghiệm của bất phương trình –2x + 3y < –1.

+ Với cặp số (x; y) = (2; 3) ta có : 2 + 3 = 5 > 0.

Do đó cặp số (x; y) = (2; 3) không phải là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 0;

+ Với cặp số (x; y) = (2; 3) ta có : 4.2 ≥ 2.3 + 1 (8 > 7) là mệnh đề đúng.

Do đó cặp số (x; y) = (2; 3) là nghiệm của bất phương trình 4x ≥ 2y + 1.

+ Với cặp số (x; y) = (2; 3) ta có : 2 – 3 + 6 = 5 > 0.

Do đó cặp số (x; y) = (2; 3) không phải là nghiệm của bất phương trình x – y + 6 < 0.

Vậy cặp số (x; y) = (2; 3) là nghiệm của bất phương trình 4x ≥ 2y + 1.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 13. Cho hai bất phương trình 2x + y < 3 (1) và – x + 3y > 5 (2) và điểm A(0; 1). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) và (2);

B. Điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) nhưng không thuộc miền nghiệm của (2);

C. Điểm A không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) nhưng thuộc miền nghiệm của (2);

D. Điểm A không thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình (1) và (2).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Với cặp số (x; y) = (0; 1)

Vì 2.0 + 1 = 1 < 3 nên cặp số (0; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y < 3 (1).

Do đó điểm A(0; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1).

Vì –0 + 3.1 = 3 < 5 nên cặp số (0; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình – x + 3y > 5 (2).

Do đó điểm A(0; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (2).

Vậy điểm A(0 ; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) nhưng không thuộc miền nghiệm của (2).

Vậy ta chọn đáp án B.