Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính đường chéo đa giác

Đường chéo đa giác

A. Phương pháp giải

+) Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là

+) Để tìm số cạnh của đa giác khi biết số đường chéo, ta dùng công thức trên.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho đa giác 8 cạnh, số đường chéo của đa giác đó là:

Lời giải:

Số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là:

Câu 2: Tổng số đường chéo của ngũ giác lồi là:

A. 7

B. 8

C. 5

D. 10

Lời giải:

Số các đường chéo của đa giác lồi 5 cạnh bằng:

Câu 3: Một đa giác có 27 đường chéo. Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh?

Giải.

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh; ) thì số đường chéo là

Theo giả thiết đa giác có 27 đường chéo nên ta có:

Vậy đa giác có 9 cạnh.

Câu 4: Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 7.

Giải.

Đặt số cạnh của đa giác là n (cạnh, ) thì số đường chéo là

Theo đề bài số đường chéo hơn số cạnh là 7, ta có:

Vì n ≥ 3 nên n - 7 = 0 ⇔ n = 7. Vậy số cạnh của đa giác là 7.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho đa giác 9 cạnh, số đường chéo của đa giác đó là:

A. 36

B. 27

C. 20

D. 18

Câu 2: Một đa giác có số đường chéo là 54 thì có số cạnh là bao nhiêu?

Câu 3: Tồn tại hay không một đa giác mà số đường chéo của nó

a) Bằng số cạnh?

b) Lớn gấp đôi số cạnh?

c) Bằng nửa số cạnh?

d) Bằng một phần ba số cạnh?

Câu 4: Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của nó.

Câu 5: Số đường chéo của một đa giác lớn hơn 14, nhưng nhỏ hơn 27. Hỏi đa giác đó bao nhiêu cạnh?

Câu 6: Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh?

D. Bài tập bổ sung

Bài 1. Cho một đa giác lồi bao gồm 7 cạnh, số đường chéo của tam giác đó là

A. 14;

B. 15;

C. 13;

D. 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số đường chéo của đa giác là: $\frac{7(7-3)}{2}=14$

Bài 2. Tổng số đường chéo có trong một hình ngũ giác đều và một hình lục giác đều là

A. 14

B. 15

C. 13

D. 10

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số đường chéo của một ngũ giác đều: $\frac{5(5-3)}{2}=5$

Số đường chéo của một lục giác đều: $\frac{6(6-3)}{2}=9$

Vậy tổng số đường chéo có trong hai đa giác là 14.

Bài 3. Biết một đa giác lồi có 35 đường chéo, hỏi đa giác này có bao nhiêu cạnh?

A. 9;

B. 8;

C. 10;

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ* và n > 3).

Ta có: $\frac{n(n-3)}{2}=35\iff$n² – 3n – 70 = 0

Suy ra n = 10 (thỏa mãn) hoặc n = –7 (loại).

Vậy n = 10.

Bài 4. Cho một đa giác lồi, biết rằng số đường chéo của đa giác ấy nhiều hơn số cạnh là 18. Số cạnh của đa giác này là

A. 10;

B. 7;

C. 8;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ* và n > 3).

Khi đó số đường chéo của đa giác là

Ta có:$\frac{n(n-3)}{2}-n=18\iff$n² – 5n – 36 = 0

Suy ra n = 9 (thỏa mãn) hoặc n = –4 (loại)

Vậy số cạnh của đa giác đã cho là 9 cạnh.

Bài 5. Cho một đa giác lồi, biết số cạnh của đa giác này là 11. Số đường chéo của đa giác là

A. 40;

B. 41;

C. 42;

D. 44.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Số đường chéo của đa giác là:

Bài 6. Một đa giác lồi có số cạnh là n (n ∈ ℕ* và n > 3). Với giá trị nào của n thì đa giác có số đường chéo bằng ba lần số cạnh của đa giác?

A. 7;

B. 8;

C. Không tồn tại;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{n(n-3)}{2}=3n\iff$n² – 3n = 6n.

Suy ra n = 0 (loại) hoặc n = 9 (thỏa mãn).

Vậy đa giác lồi gồm 9 cạnh là đa giác thỏa mãn.

Bài 7. Cho một đa giác lồi, biết rằng số đường chéo của đa giác gấp đôi số cạnh của đa giác. Số cạnh của đa giác ấy là

A. 8

B. 7

C. 9

D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi n là số cạnh của đa giác cần tìm (n ∈ ℕ* và n > 3).

Khi đó ta có: $\frac{n(n-3)}{2}=2n\iff$n² – 3n = 4n.

Suy ra n = 0 (loại) hoặc n = 7 (thỏa mãn).

Vậy đa giác cần tìm có 7 cạnh.

Bài 8. Cho một đa giác lồi, biết rằng khi số cạnh của đa giác giảm đi 2 thì số đường chéo của đa giác giảm đi 13. Số cạnh của đa giác này là

A. 10;

B. 9;

C. 8;

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi số cạnh của đa giác cần tìm là n (n ∈ ℕ* và n > 5).

Số đường chéo của đa giác là: $\frac{n(n-3)}{2}$

Số đường chéo của đa giác lồi với số cạnh là n – 2 là: $\frac{(n-2)(n-5)}{2}$

Khi đó ta có: $\frac{n(n-3)}{2}-\frac{(n-2)(n-5)}{2}$ = 13, do đó 4n – 10 = 26.

Suy ra n = 9.

Bài 9. Cho một đa giác lồi, biết số đường chéo của đa giác ấy lớn hơn 14 nhưng nhỏ hơn 36. Tổng số cạnh của các đa giác thỏa mãn là

A. 25;

B. 10;

C. 27;

D. 23.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ* và n > 3)

Khi đó ta có: $14<\frac{n(n-3)}{2}<36$ nên 28 < n² – 3n < 72.

Tương đương $\left\{\begin{array}{l}{n}^2-3n-28>0\\ n^2-3n-72<0\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x<-4\\ x>7\end{array}\\ -7,12<x<10,12\end{array}\right.$, suy ra 7 < x ≤ 10.

Vậy S = 8 + 9 + 10 = 27.

Bài 10. Cho một đa giác lồi, biết số cạnh của đa giác là 12. Số đường chéo của đa giác là

A. 54;

B. 50;

C. 48;

D. 60.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số đường chéo của đa giác là: $\frac{12(12-3)}{2}=54$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Công thức, cách tính góc của đa giác đều (hay, chi tiết)
• Công thức, cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác cực hay