Mệnh đề là gì? Các loại mệnh đề và cách giải bài tập mệnh đề

Mệnh đề là gì? Các loại mệnh đề và cách giải bài tập mệnh đề

I. Mệnh đề

1 Khái niệm mệnh đề

Mệnh đề được hiểu là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng, sai của nó.

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

• Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng.

• Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ngoài ra bạn cần lưu ý, chỉ có câu khẳng định mới là mệnh đề. Còn các câu cảm thán, cầu khiến hay câu nghi vấn không phải mệnh đề.

2. Ký hiệu của mệnh đề

Mệnh đề thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa.

Ví dụ:

• Cho mệnh đề P: 6 là một số chia hết cho 3. Vậy đây là một mệnh đề đúng.

• Mệnh đề Q: 9 là một số chia hết cho 2. Đây là một mệnh đề sai.

II. Mệnh đề chứa biến

1. Mệnh đề chứa biến là gì?

Mệnh đề chứa biến là một khái niệm quan trọng trong toán học và logic khi bạn tìm hiểu mệnh đề là gì. Đây là loại mệnh đề mà tính đúng sai của nó phụ thuộc vào giá trị của biến trong mệnh đề.

2. Ý nghĩa của mệnh đề chứa biến

Nhờ vào tính linh hoạt của mệnh đề chứa biến, chúng ta có thể áp dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như toán học, khoa học máy tính, và logic để mô tả các quy luật hay điều kiện có thể thay đổi tùy thuộc vào điều kiện đầu vào khác nhau. Điều này giúp chúng ta phát triển các mô hình và lý thuyết có tính linh hoạt và áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của kiến thức.

Điều quan trọng trong mệnh đề chứa biến là khả năng thay đổi giá trị của biến để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề. Mỗi giá trị của biến n sẽ tạo ra một mệnh đề cụ thể và sau đó bạn mới có thể đánh giá là đúng hay sai.

III. Các loại mệnh đề

1. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P, mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và được ký hiệu là P.

Nếu mệnh đề P đúng thì P sẽ là mệnh đề sai và ngược lại.

Với một mệnh đề P ta có nhiều cách để diễn đạt P.

Ví dụ 1: Cho mệnh đề P: tổng 2 cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại.

Vậy P có thể được diễn đạt như sau: tổng 2 cạnh của tam giác nhỏ hơn cạnh còn lại, hoặc: tổng 2 cạnh của tam giác không lớn hơn cạnh còn lại.

Ví dụ 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai:

a) Phương trình x² - 3x + 2 = 0 có nghiệm.

b) 2¹⁰ - 1 chia hết cho 11.

c) Có vô số số nguyên tố.

Lời giải:

a) Phương trình x² - 3x + 2 = 0 vô nghiệm. Mệnh đề phủ định sai vì phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 2.

b) 2¹⁰ - 1 không chia hết cho 11. Mệnh đề phủ định sai.

c) Có hữu hạn số nguyên tố, mệnh đề phủ định sai.

2. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu: P⇒Q

Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng, Q sai.

Ví dụ: cho mệnh đề: nếu tam giác ABC có 3 góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

• GT: Tam giác ABC có 3 góc bằng nhau (mệnh đề P)

• KL: Tam giác ABC là tam giác đều (mệnh đề Q).

3. Mệnh đề đảo – hai mệnh đề tương đương

Cho mệnh đề P⇒Q thì mệnh đề Q⇒P được gọi là mệnh đề đảo của P⇒Q.

Mệnh đề P khi và chỉ khi Q được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu: P ⇔ Q.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng hoặc sai khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ: Mệnh đề: Nếu x là một số nguyên thì x + 5 cũng là một số nguyên và Nếu x + 5 là một số nguyên thì x cũng là một số nguyên được gọi là mệnh đề đảo.

IV. Một số lưu ý về mệnh đề

Khi nhắc tới mệnh đề toán học, ta cần ghi nhớ 2 ký hiệu sau:

Kí hiệu: ∀ – được gọi là với mọi.

Ví dụ: cho mệnh đề: Q(n) với biến n thuộc tập X.

Có câu khẳng định: Với mọi n bất kì thuộc X thì Q(n) đúng được ký hiệu là ∀n ∈ X : Q(n).

Kí hiệu: ∃ được gọi là tồn tại

Ví dụ: có ít nhất một n ∈ X (hay tồn tại n ∈ X) để Q(n) là mệnh đề đúng kí hiệu là ∃n ∈ X : Q(n).

Ngoài ra, đối với với mệnh đề tương đương ta cần lưu ý, hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau thì không có nghĩa là nội dung của nó như nhau mà chỉ có thể nói P và Q cùng đúng hoặc cùng sai (hoặc nó cùng nói lên một giá trị chân lý).

V. Các dạng bài về mệnh đề

Dạng 1: Xác định tính đúng – sai

Phương pháp giải

• Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.

• Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).

Ví dụ: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

1) 21 là số nguyên tố

2) Phương trình x² + 1 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt

3) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2

4) Tứ giác có hai cạnh đối không song song và không bằng nhau thì nó không phải là hình bình hành.

Lời giải:

1) Mệnh đề sai vì 21 là hợp số.

2) Phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm nên mệnh đề trên sai

3) Mệnh đề đúng.

4) Tứ giác có hai cạnh đối không song song hoặc không bằng nhau thì nó không phải là hình bình hành nên mệnh đề sai.

Dạng 2. Cách phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ

Phương pháp giải

Mệnh đề: P ⇒ Q

Khi đó: P là giả thiết, Q là kết luận

Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P

Ví dụ:

Xét mệnh đề: "Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau"

Hãy phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.

Lời giải:

1) Điều kiện cần: Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

2) Điều kiện đủ: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.

3) Điều kiện cần và đủ: Không có

Vì A⇒B: đúng nhưng B⇒A sai, vì " Hai tam giác có diện tích bằng nhau nhưng chưa chắc đã bằng nhau".

Dạng 3. Xác định mối quan hệ logic

Trong toán học, các phép toán về mệnh đề như kéo theo và tương đương giúp chúng ta xác định mệnh đề là gì và mối quan hệ logic giữa các tuyên bố.

Dạng 4. Chứng minh mệnh đề

Để chứng minh một quy luật hay mệnh đề là gì, ta thường sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.