Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Trực tâm của tam giác là gì?

    Với tài liệu về Trực tâm của tam giác bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 122 27/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Trực tâm của tam giác

    I. Lý thuyết

    - Đặc điểm 1: Trực tâm là điểm giao của ba đường trung trực và ba đường phân giác trong tam giác, bao gồm:

    + Đường trung trực: Đường thẳng kết hợp trực tâm và đỉnh của mỗi cạnh.

    + Đường phân giác: Đường chia góc thành hai phần bằng nhau, kết hợp với trực tâm.

    + Đường cao: Đường thẳng từ một đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện, cắt nhau tại trực tâm.

    - Đặc điểm 2: Trực tâm chia đường trung trực của hai cạnh thành hai đoạn bằng nhau, tức là trực tâm cách các đỉnh của tam giác một cách đồng đều.

    - Đặc điểm 3: Trực tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tức là nếu ta vẽ một đường tròn qua ba đỉnh của tam giác, trực tâm sẽ nằm trên đường tròn đó và là tâm của nó.

    - Đặc điểm 4: Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác, còn trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.

    - Đặc điểm 5: Trực tâm của tam giác vuông nằm trên cạnh huyền và chính giữa hai đỉnh vuông góc của tam giác.

    - Đặc điểm 6: Trực tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà nếu vẽ các đường từ trực tâm đến các đỉnh, tổng độ dài các đoạn đó là nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là trực tâm nằm gần nhất với các đỉnh của tam giác so với bất kỳ điểm nào khác.

    - Đặc điểm 7: Trực tâm cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tức là đường tròn lớn nhất có thể vẽ qua ba đỉnh của tam giác.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

    Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

    Trực tâm của giác giác HBC

    Giải:

    Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

    ⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

    ΔHBC có :

    AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

    BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

    CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

    AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

    Ví dụ 2: Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

    a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

    b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

    c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

    d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

    Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

    Lời giải:

    Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF

    a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

    FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

    Vậy IJ là đường trung trực của EF

    Trực tâm tam giác

    b)

    Trực tâm tam giác

    c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

    d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD

    Góc PFB = BFD

    Góc DFH = EFH

    4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng

    Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.

    Trực tâm của tam giác nhọn

    Giải:

    Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:

    AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

    Trong ΔAHB, ta có:

    AC ⊥ BH

    BC ⊥ AH

    Vì hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác AHB.

    Trong ΔHAC, ta có:

    AB ⊥ CH

    CB ⊥ AH

    Vì hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B nên B là trực tâm của ΔHAC.

    Trong ΔHBC, ta có:

    BA ⊥ HC

    CA ⊥ BH

    Vì hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

    Bài 2. Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

    Giải:

    + Xét ΔABC vuông tại A

    AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

    hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

    Mà AB cắt AC tại A

    ⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

    Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

    + Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

    + Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

    \begin{aligned} &\widehat{\mathrm{CAE}} \equiv \widehat{\mathrm{CAB}} \text { là góc tù. }\\ &\text { Trong } \triangle \mathrm{ACE} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{CAE}}+\widehat{\mathrm{ACE}}+\widehat{\mathrm{CEA}}>90^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}+90^{\circ}\\ &=180^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}>180^{\circ} \end{aligned}

    Vậy E nằm ngoài A và B

    ⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

    + Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

    + Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

    Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

    Bài 3: Cho hình vẽ

    a) Chứng minh NS ⊥ LM

    b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

    Giải

    a) Trong ΔMNL có:

    LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

    MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

    Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

    Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

    ⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

    hay SN ⊥ ML.

    b)

    + Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

    ΔNMQ vuông tại Q có:

    \begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông tại } \mathrm{P} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}

    Bài 4: Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

    Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

    Chứng minh KN ⊥ IM.

    Giải

    Vẽ hình minh họa:

    Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

    l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

    N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

    IN và MJ cắt nhau tại N .

    Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

    ⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

    Vậy KN ⏊ IM

    Bài 5: Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

    Giải

    + Xét ΔABC vuông tại A

    AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

    hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

    Mà AB cắt AC tại A

    ⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

    Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

    + Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

    + Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

    \begin{aligned} &\widehat{\mathrm{CAE}} \equiv \widehat{\mathrm{CAB}} \text { là góc tù. }\\ &\text { Trong } \triangle \mathrm{ACE} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{CAE}}+\widehat{\mathrm{ACE}}+\widehat{\mathrm{CEA}}>90^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}+90^{\circ}\\ &=180^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}>180^{\circ} \end{aligned}

    Vậy E nằm ngoài A và B

    ⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

    + Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

    + Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

    Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

    Bài 6: Cho hình vẽ

    a) Chứng minh NS ⊥ LM

    b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

    Giải

    a) Trong ΔMNL có:

    LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

    MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

    Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

    Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

    ⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

    hay SN ⊥ ML.

    b)

    + Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

    ΔNMQ vuông tại Q có:

    \begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông tại } \mathrm{P} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}

    Bài 7: Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

    Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

    Chứng minh KN ⊥ IM.

    Giải:

    Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

    l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

    N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

    IN và MJ cắt nhau tại N .

    Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

    ⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

    Vậy KN ⏊ IM

    Bài 8: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

    a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

    b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

    Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

    ⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

    Giải

    Vẽ hình minh họa

    a) ΔHBC có :

    AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

    BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

    CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

    AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

    b) Tương tự :

    + Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)

    + Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)

    Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

    Giải

    Bài 4

    BE là đường cao của ∆ ABC \Rightarrow ∆ ABE vuông tại E.

    CF là đường cao của ∆ ABC \Rightarrow ∆ AFC vuông tại F.

    AD là đường cao của ∆ ABC \Rightarrow ∆ ADC vuông tại D.

    + Xét ∆ ABE vuông tại E và ∆ AFC vuông tại F có:

    BE = CF

    \widehat{EAF} chung

    \Rightarrow ∆ ABE = ∆ AFC (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

    \Rightarrow AB = AC (1)

    + Xét ∆CDA vuông tại D và ∆ AFC vuông tại F có:

    AC chung

    AD = CF

    \Rightarrow ∆CDA = ∆AFC (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

    \Rightarrow \widehat{CAF}= \widehat{ACD}

    \Rightarrow ∆ ABC cân tại B

    => AB = BC (2)

    Từ (1), (2) ta có: AB = AC = BC

    \Rightarrow ∆ ABC đều.

    Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

    a) DE vuông góc với BC.

    b) BE vuông góc với DC.

    Giải

    Bài 3

    a) Gọi F là giao điểm của DE và BC

    + AD = AE => ∆ADE cân tại A

    ∆ABC vuông cân tại A => BA ⊥ AC hay EA ⊥ AD

    => ∆ ADE vuông cân tại A

    => \widehat{AED} = \widehat{ADE} = 45°

    + ∆ ABC vuông cân tại A

    => \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°

    + Xét ∆EFC có: \widehat{FEC} + \widehat{FCE} + \widehat{EFC} = 180°

    => 45° + 45° + \widehat{EFC} = 180°

    => \widehat{EFC} = 180° - 90° = 90°

    => EF ⊥ BC hay DE ⊥ BC.

    b) Xét tam giác BCD có: CA ⊥ BD => CA là đường cao của ∆ BCD

    DE ⊥ BC => DE là đường cao của ∆ BCD

    Mà DE giao với CA tại E

    => E là trực tâm của ∆ BCD

    => BE ⊥ CD.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 122 27/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: