Cách chứng minh hình thang cân

Cách chứng minh hình thang cân

I. Lý thuyết

Phương Pháp 1: Chứng minh hai cạnh đáy song song

• Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau.
• Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau.
• Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau.

Phương Pháp 2: Chứng minh hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau

Phương pháp này chỉ yêu cầu việc xác định sự bằng nhau của hai góc kề cạnh đáy.

Phương Pháp 3: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau

Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, từ đó suy ra chúng bằng nhau.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hình thang cân ABCD với AB // CD và AB < CD. Gọi E và F là giao điểm của đường cao từ A và B xuống CD.

• Xét hai tam giác vuông AED và BFC có:
• AD = BC (do hình thang cân).
• $\mathrm{\angle }𝐷=\mathrm{\angle }𝐶$ (giả thiết).
• Suy ra $\mathrm{△}𝐴𝐸𝐷\cong \mathrm{△}𝐵𝐹𝐶$ (cạnh huyền - góc nhọn).
• Từ đó có DE = CF.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD cân, biết đáy lớn bằng 12 cm; đáy bé bằng 10 cm và hai cạnh bên lần lượt bằng 7 cm và 8 cm. Tính chu vi hình thang ABCD.

Hướng dẫn giải:

Chu vi hình thang ABCD cân là:

12 + 10 + 7 + 8 = 37 (cm)

Đáp số: 37cm

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình thang ABCD cân có hai cạnh bên bằng nhau biết chu vi của hình thang bằng 68cm và độ dài hai cạnh đáy lần lượt là 20cm và 26cm. Tính độ dài của hình thang ABCD cân.

Giải:

Tổng độ dài hai cạnh bên của hình thang ABCD là:

68 – 20 – 26 = 22 (cm)

Độ dài cạnh bên của hình thang là:

22 : 2 = 11 (cm)

Đáp số: 11cm

Bài 2: Cho hình thang ABCD cân, biết độ dài đáy nhỏ bằng 5cm, đáy lớn bằng 10cm. Chiều cao của hình thang bằng 6cm. Tính diện tích của hình thang ABCD.

Giải:

Diện tích hình thang ABCD là:

(5 + 10) x 6 : 2 = 45 (cm2)

Đáp số: 45cm2

Bài 3: Cho hình thang ABCD cân chiều cao bằng 56cm. Đáy lớn hơn đáy bé 24cm và đáy bé bằng 2/5 đáy lớn. Tính diện tích hình thang ABCD.

Giải:

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 – 2 = 3 (phần)

Độ dài đáy lớn là:

24 : 3 x 5 = 40 (cm)

Độ dài đáy bé là:

40 – 24 = 16 (cm)

Diện tích hình thang là:

(16 + 40) x 56 : 2 = 1568 (cm2)

Đáp số: 1568cm2

Bài 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Giải

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C1 = góc D1, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)

Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).

Bài 5: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Giải

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)

Vì BD, CE lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ACB (giả thiết) nên theo tính chất tia phân giác:

Góc B1 = góc B2 = 1/2 của góc ABC

Góc C1 = góc C2 = 1/2 của góc ACB

Mà góc ABC = góc ACB (chứng minh trên) => góc B1 = góc B2 = góc C1 = góc C2

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: (1) AB = AC, (2) Góc A chung, (3) Góc B1 = góc C1 (chứng minh trên) => tam giác ABD = tam giác ACE (góc - cạnh - góc)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Ta có: AD = AE (chứng minh trên) nên tam giác ADE cân tại A (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) => góc AED = góc ADE (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ADE có: góc AED + góc ADE + góc A = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => AED = (180 độ - góc A) / 2 (1)

Xét tam giác ABC có: góc A + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => ABC = (180 độ - góc A) / 2 (2)

Từ (1) và (2) => góc AED = góc ABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC.

Do đó BEDC là hình thang.

Lại có góc ABC = góc ACB (chứng minh trên)

=> BEDC là hình thang cân.

Ta có: DE // BC => góc D1 = góc B2 (hai góc so le trong)

Lại có góc B2 = góc B2 (chứng minh trên) nên góc B1 = góc D1

=> Tam giác EBD cân tại E

=> EB = ED

Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB. AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân

b) TÍnh các góc của hình thang cân đó, biết góc A = 50 độ.