Công thức, cách tính chu vi và diện tích hình vuông (2024) chính xác nhất

Công thức, cách tính chu vi và diện tích hình vuông

I. Lý thuyết về Hình vuông

1. Hình vuông là gì?

Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

Từ định nghĩa hình vuông, ta nhận thấy rằng:

- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau

- Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông

Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Ví dụ: Cho hình vẽ sau.

Hỏi tứ giác ABCD có là hình vuông hay không?

Lời giải:

Tứ giác ABCD có:

+) 4 góc đỉnh A, B, C, D đều là các góc vuông.

+) 4 cạnh AB, AD, BC, CD không bằng nhau.

Vì tứ giác ABCD có 4 cạnh không bằng nhau nên tứ giác ABCD không là hình vuông.

2. Tính chất của hình vuông

Hình vuông có đầy đủ các tính chất của hình thoi và hình chữ nhật. Cụ thể:

- Hình vuông có Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Hình vuông có 2 cặp cạnh song song

- Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau

- Hình vuông có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông

- Một đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau

- Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Lưu ý: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

II. Các công thức của Hình vuông

1. Công thức tính chu vi hình vuông

Chu vi hình vuông là tổng độ dài của bốn cạnh của hình vuông đó; hoặc chu vi hình vuông bằng 4 lần độ dài của một cạnh hình vuông.

P = a x 4

Trong đó: a là độ dài 1 cạnh hình vuông

P là chu vi hình vuông

Ví dụ: Tính chu vi hình vuông có độ dài 1 cạnh là 5m

Bài giải

Chu vi hình vuông là

P = 5 x 4 = 20 (m)

2. Công thức tính diện tích hình vuông

Diện tích hình vuông bằng bình phương chiều dài cạnh hình vuông.

S = a x a = a²

Trong đó:

a là độ dài một cạnh hình vuông

S là diện tích hình vuông

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có chu vi là 20m. Tính diện tích hình vuông đó.

Bài giải

Độ dài một cạnh hình vuông ABCD là:

20 : 4 = 5 (m)

Diện tích hình vuông ABCD là:

S = 5² = 25 (m²)

III. Các dạng toán về hình vuông

Dạng 1: Tìm điều kiện để tứ giác trở thành hình vuông

Phương pháp:

- Sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh

Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Giải

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:

AE = EB = CF = FD = a.

a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a

⇒ AE = EF = DF = AD = a

Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông

Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc nên nó là hình vuông.

Dạng 2: Tìm vị trí một điểm để tứ giác trở thành hình vuông

Phương pháp: Giả sử hình đó là hình vuông rồi dựa vào tính chất của hình vuông để chỉ ra vị trí của điểm.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F

a. AEDF là hình gì?

b. Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?

c. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông?

Lời giải:

a. Tứ giác AEDF là hình bình hành

Giải thích: Từ giả thiết: DE//AC và DF // AB

⇒ DE // AF và DF // AE

Tứ giác AEDF có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành

b. Giả sử AEDF là hình thoi khi đó theo tính chất vẽ đường chéo của hình thoi thì AD là đường phân giác của góc A.

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi

c. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF là hình chữ nhật. Nếu tam giác ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác góc A với BC thì AEDF vừa là chữ nhật vừa là hình thoi nên nó là hình vuông.

Dạng 3: Chứng minh các quan hệ bằng nhau, song song, vuông góc, thẳng hàng

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy M, trên CD lấy N sao cho BM = CN. Chứng minh AM vuông góc với BN.

Bài giải

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta có:

AB = BC

góc A = góc B = 90⁰

BM = CN

⇒ tam giác ABM = tam giác BCN (cgc) nên AM = BN

Gọi AM giao BN tại I

- Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta có:

góc BAM + góc AMB = 90°

góc BAM = góc NBC

⇒ góc AMB + góc NBC = 90° (1)

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có:

góc IBM + góc BIM + góc IMB = 180° (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc BIM = 180° - 90° = 90° hay AM vuông góc BN

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Giải

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Theo hình vẽ thì . Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Giải

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:

AE = EB = CF = FD = a.

a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a

⇒ AE = EF = DF = AD = a

Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông

Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc nên nó là hình vuông.

Bài 3. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án: D.

Bài 4. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Đáp án: A.

Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH

hay DG = CF = EB =AH.

nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình thoi EFGH có nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

và MB = NC = PD = QA = a – x, nên bốn tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM bằng nhau theo trường hợp (c – g – c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là MN = NP = PQ = QM.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

Từ (1) và (2) suy ra

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 3 đầy đủ, chi tiết khác:

Các số có bốn chữ số. Số 10 000

Điểm ở giữa. Trung điểm của đoạn thẳng

So sánh các số trong phạm vi 10 000

Phép cộng các số trong phạm vi 10 000

Phép trừ các số trong phạm vi 10 000