Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm trong tam giác

I. Lý thuyết

Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:

– Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}.$ Chứng minh G là trọng tâm của ΔBCD.

Hướng dẫn giải:

Vì AD = AB nên A là trung điểm BD.

Suy ra CA là đường trung tuyến của ΔBCD.

Mà $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}$ suy ra G là trọng tâm của ΔBCD.

Ví dụ 2. Cho ΔABC với đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA, trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB. Chứng minh C là trọng tâm của ΔAEM.

Hướng dẫn giải:

Ta có DE = DA nên D là trung điểm của AE

Do đó MD là đường trung tuyến của tam giác AEM.

Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của BC

Do đó BC = 2CD. Mà CM = CB nên CM = 2CD.

Ta có điểm C nằm trên đường trung tuyến MD của tam giác AEM và CM = 2CD nên C là trọng tâm của ΔAEM.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Chứng minh rằng hai tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Vì AI là đường trung tuyến của một góc vuông nên ta có: AI = 1/2 BC = BI = CI.

Suy ra, tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm. BG cắt AC tạo M, CG cắt AB tại N. Chứng minh:

a. BM = CN

b. BN = AN = CM = AM

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm.

Theo tính chất của đường trung trực tam giác cân, AG là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này.

Suy ra, AG vuông góc với BC.

Bên cạnh đó còn có: AB = AC (vì tam giác cân tại A).

Suy ra, BM = CN và BN = AN = CM = AM.

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên A M = 1/2BC

BC = √ (AB^2 + AC^2) = √ ( 3^2 + 4^2 ) = 5 cm

⇒ A M = 1 / 2 x 5 = 2,5 cm

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2/3 AM = 2/3 .2,5 = 1,7 cm.

Vậy AG = 1,7 cm.

Bài 4: Cho tam giác có các đỉnh là A, B, C. Tam giác này có đường tung tuyến là AD bằng 9 cm. Bạn hãy xác định trọng tâm là gì và tính chiều dài của đoạn thẳng AI?

Giải:

Theo đề bài viết, chúng ta sẽ vẽ thêm một đường trung tuyến từ đỉnh B cắt cạnh AC. Điểm cắt bạn sẽ giải sử có tên E. Do đó, chúng ta sẽ có thêm một đường trung tuyến là BE. Trong đó, điểm giao nhau của hai đường trung tuyến chính là trọng tâm của hình tam giác này (gọi là I).

Theo tính chất cơ nhất của đường trung tuyến, “Đường trung tuyến sẽ bằng ⅔ độ dài từ đỉnh đến trọng tâm của giác”. Như vậy, ta có AD = 9cm => AI = ⅔ x 9 = 6 cm. Do đó, đáp án cần tìm cho đề bài trên đó là AI dài 6cm.

Bài 5: Cho tam giác vuông ABC có trọng tâm G và cạnh huyền BC = 3a. Tính độ dài vecto $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

Giải

Vì G là trọng tâm của tam giác vuông ABC nên ta có

$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}$

$\to \left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|-\overrightarrow{GA}\right|=\overrightarrow{GA}=\frac{2}{3}.\frac{BC}{2}=a$