Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách chứng minh trọng tâm của một tam giác

Cách chứng minh trọng tâm của một giác

1. Phương pháp giải

Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:

– Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}.$ Chứng minh G là trọng tâm của ΔBCD.

Hướng dẫn giải:

Vì AD = AB nên A là trung điểm BD.

Suy ra CA là đường trung tuyến của ΔBCD.

Mà $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AC}$ suy ra G là trọng tâm của ΔBCD.

Ví dụ 2. Cho ΔABC với đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA, trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB. Chứng minh C là trọng tâm của ΔAEM.

Hướng dẫn giải:

Ta có DE = DA nên D là trung điểm của AE

Do đó MD là đường trung tuyến của tam giác AEM.

Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của BC

Do đó BC = 2CD. Mà CM = CB nên CM = 2CD.

Ta có điểm C nằm trên đường trung tuyến MD của tam giác AEM và CM = 2CD nên C là trọng tâm của ΔAEM.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ΔABC có đường trung tuyến AD, trên đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho AE = EF = FD. Điểm F là:

A. Trọng tâm của ΔABC;

B. Trọng tâm của ΔABE;

C. Trọng tâm của ΔABD;

D. Cách đều ba cạnh của ΔABC.

Bài 2. Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BM}$ và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm của CK, GE cắt AC tại I. Điểm I là trọng tâm của tam giác nào?

A. ΔKBC;

B. ΔABC;

C. ΔKMC;

D. ΔKGC.

Bài 3. Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho $\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AD}}=\frac{2}{3}.$Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{EG}}=2;$

B. $\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{CG}}=\frac{2}{3};$

C. E là trung điểm của cạnh AC;

D. F là trung điểm của cạnh AB.

Bài 4. Cho hình vẽ như bên dưới. Biết AM = 12 cm.

Độ dài của đoạn thẳng AG là

A. 10 cm;

B. 4 cm;

C. 6 cm;

D. 8 cm.

Bài 5. Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 2MC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Gọi E là giao điểm của AM và BD. Khi đó điểm M là

A. Trọng tâm của ΔABD;

B. Trọng tâm của ΔABC;

C. Trọng tâm của ΔABE;

D. Cách đều ba đỉnh của ΔABD.

Bài 6. Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tia AG cắt BC tại M. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm;

B. Hai tam giác ABC và AEC có cùng trọng tâm;

C. Hai tam giác ABC và ABF có cùng trọng tâm;

D. Hai tam giác AEM và AMF có cùng trọng tâm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

• Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều